bai tap ve cac đường đồng quy trong tam giác

[nhimcoi6]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đoạn thẳng AB, Trên đoạn thẳng AB lấy 2 điểm M, N (M nằm giữa A và N). Vẽ về 1 phía của AB các tam giác đều AMD. MNE, NBF. gọi G là trọng tâm của tam giác DEF.
CMR: Khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của M, N trên AB

@Toàn: Bài này hay !!

 

[meomiutiunghiu]

Gọi I là trung điểm của DE , K là trung điểm của GF
Gọi D' ,I', E', G', K', F' lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D, I, E, G, K, F xuống AB.
Ta có :
DD' // II' // EE' // GG' // KK' // FF'( cùng vuông góc với AB).
Vì G là trọng tâm của tam giác DEF nên IG =GK =KF.
Lại có :
I'G'=G'K'=K'F' ( đường thẳng song song cách đều )
Như vậy ta được 3 hình thang vuông D'DE'E , II'KK' ,GG'FF' lầ lượt có II' ,GG',FF' là đường trung bình.
Từ đó suy ra :
II' + KK' = 2GG'
hay
2II' + 2KK' = 4GG' (1)
Mà
2II' = D D' +E E' ; 2KK' =GG' +FF'
Thay vào (1) ta được
D D' +E E' +GG' +FF'=4GG'
suy ra
D D' +E E'+FF'=3GG'
hay
GG' =[TEX]\frac{D D' +E E'+FF'}{3}[/TEX] (2)
Xét tam giác đều NFB có:
FF' =[TEX]\frac{NB\sqrt3}{2}[/TEX] (3)
Tương tự với 2 tam giác đều DAM và tam giác đều MEN ta được :
D D'=[TEX]\frac{AM\sqrt3}{2}[/TEX] (4)
E E'=[TEX]\frac{MN\sqrt3}{2}[/TEX] (5)
Cộng (3) (4) (5) ta được
D D' +E E'+FF' =[TEX]\frac{AB\sqrt3}{2}[/TEX] (6)
Kết hợp (2) với (6) ta có:
GG'=[TEX]\frac{3AB\sqrt3}{2}[/TEX]
Vậy Khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của M, N trên AB.
P/s : Bạn nào vẽ giúp mình cái hình với ^^

 

[meomiutiunghiu]

Gọi I là trung điểm của DE , K là trung điểm của GF
Gọi D' ,I', E', G', K', F' lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D, I, E, G, K, F xuống AB.
Ta có :
DD' // II' // EE' // GG' // KK' // FF'( cùng vuông góc với AB).
Vì G là trọng tâm của tam giác DEF nên IG =GK =KF.
Lại có :
I'G'=G'K'=K'F' ( đường thẳng song song cách đều )
Như vậy ta được 3 hình thang vuông D'DE'E , II'KK' ,GG'FF' lầ lượt có II' ,GG',FF' là đường trung bình.
Từ đó suy ra :
II' + KK' = 2GG'
hay
2II' + 2KK' = 4GG' (1)
Mà
2II' = D D' +E E' ; 2KK' =GG' +FF'
Thay vào (1) ta được
D D' +E E' +GG' +FF'=4GG'
suy ra
D D' +E E'+FF'=3GG'
hay
GG' =[TEX]\frac{D D' +E E'+FF'}{3}[/TEX] (2)
Xét tam giác đều NFB có:
FF' =[TEX]\frac{NB\sqrt3}{2}[/TEX] (3)
Tương tự với 2 tam giác đều DAM và tam giác đều MEN ta được :
D D'=[TEX]\frac{AM\sqrt3}{2}[/TEX] (4)
E E'=[TEX]\frac{MN\sqrt3}{2}[/TEX] (5)
Cộng (3) (4) (5) ta được
D D' +E E'+FF' =[TEX]\frac{AB\sqrt3}{2}[/TEX] (6)
Kết hợp (2) với (6) ta có:
GG'=[TEX]\frac{3AB\sqrt3}{2}[/TEX]
Vậy Khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của M, N trên AB.
P/s : Bạn nào vẽ giúp mình cái hình với ^^

Phần màu cam phải là : GG'=[TEX]\frac{AB\sqrt3}{6}[/TEX]
_______________________________________________________________