Bài tập về bất đẳng thức

[shuieshushu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Chứng minh rằng [TEX]\forall x \in R[/TEX] ta có:
[TEX](\frac{12}{3})^x + (\frac{15}{4})^x + (\frac{20}{3})^x \geq 3^x + 4^x + 5^x[/TEX]Khi nào đẳng thức xảy ra?

2) Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{a^2+bc} + \frac{1}{b^2+ac} + \frac{1}{c^2+ab} \leq \frac{a+b+c}{2abc}[/TEX]

3) Cho các số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng mỉnh rằng:
[TEX]\frac{a+1}{1+b^2} + \frac{b+1}{1+c^2} + \frac{c+1}{1+a^2} \geq 3[/TEX]

4) Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a)[TEX] \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2a+b+c}} + \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a+2b+c}} + \frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{a+b+2c}} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
b) [TEX]\frac{a}{b^3+ab} + \frac{b}{c^3+bc} + \frac{c}{a^3+ca} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

5) a) Cho a>0, b>0. Chứng minh: [TEX]a+b \geq \frac{4ab}{1+ab}[/TEX]
b) Cho a,b,c>0. Chứng minh: [TEX]\frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3[/TEX]

 

[viethoang1999]

1)

Áp dụng bđt AM-GM
$\left ( \dfrac{12}{5} \right )^x+\left ( \dfrac{15}{4} \right )^x\ge 2.3^x$
$\left ( \dfrac{15}{4} \right )^x+\left ( \dfrac{20}{3} \right )^x\ge 2.5^x$
$\left ( \dfrac{20}{3} \right )^x+\left ( \dfrac{12}{5} \right )^x\ge 2.4^x$

Cộng lại ta có đpcm

 

[viethoang1999]

2)

$\sum \dfrac{1}{a^2+bc}\le \sum \dfrac{1}{2\sqrt{a^2bc}}=\sum \dfrac{1}{2a\sqrt{bc}}=\sum \dfrac{\sqrt{bc}}{2abc}\le \sum \dfrac{b+c}{4abc}=\dfrac{a+b+c}{2abc}$

 

[maryhuynh185]

3) Cho các số dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng mỉnh rằng:
[TEX]\frac{a+1}{1+b^2} + \frac{b+1}{1+c^2} + \frac{c+1}{1+a^2} \geq 3[/TEX]

[/TEX]

$\frac{a+1}{1+b^{2}}=a+1-\frac{b^{2}(a+1)}{b^{2}+1}$\geq $a+1-\frac{b^{2}(a+1)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}$


Tương tự :
.
.
$=>\frac{a+1}{1+b^2} + \frac{b+1}{1+c^2} + \frac{c+1}{1+a^2}$\geq$a+b+c+3-\frac{a+b+c}{2}-\frac{ab+bc+ca}{2}$\geq$\frac{9}{2} -\frac{(a+b+c)^{2}}{6}=3$



Đẳng thức xảy ra $<=> a=b=c=1$

 

[hien_vuthithanh]

5/

a/a+b \geq $\dfrac{4ab}{1+ab}$
cách 1 :\Leftrightarrow (a+b)(1+ab)\geq 4ab
ta có a+b \geq 2$\sqrt{ab}$, 1+ab\geq 2 $\sqrt{ab}$
nhân theo vế \Rightarrow dpcm

cách 2: ta có (a+b)(1+ab)=$a+b+a^2b+ab^2$=$(a+ab^2)+(b+a^2b) $\geq 2ab+2ab=4ab
\Rightarrow dpcm


và còn nhiều cách nữa

 

[hien_vuthithanh]

5/

b/ áp dụng cosi có $\dfrac{a}{b}+d\frac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$\geq 3$\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}$=3
\Rightarrow dpcm
dấu = \Leftrightarrow a=b=c >0

 

[shuieshushu]

b/ áp dụng cosi có $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$\geq 3$\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}$=3
\Rightarrow dpcm
dấu = \Leftrightarrow a=b=c >0

Hình như có nhầm lẫn thì phải?? Đề bài của mình là [TEX]$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$[/TEX] mà

 

[eye_smile]

5b,Nếu như đề như của bạn thì BĐT sai

Lấy VD: $a=5;b=6;c=7$

 

[hien_vuthithanh]

Hình như có nhầm lẫn thì phải?? Đề bài của mình là [TEX]$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$[/TEX] mà

có lẽ người nhầm là bạn
___________________________________________