- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ứng dụng tích phân ngoài việc tính thể tích hình phẳng, thể tích vật thể, thì cũng có trong nhiều ứng dụng khác, thường gặp nhất là bài toán tính quãng đường, đã từng thi trong đề đại học.
Bài toán tính quãng đường, vân tốc, thời gian
Với những ai thi khối A, A1, có môn vật lý, thì bài toán này rất dễ vì trong vật lý học nhiều rồi. Chúng ta cần nhớ mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc, và gia tốc.
Cho vận tốc biến thiên theo thời gian: [TEX]v(t)[/TEX]
Thì ta có quãng đường chuyển động được tính bởi : [tex]\int v(t)dt=s(t)+C[/tex]
Còn gia tốc là đạo hàm của vận tốc: [tex]a(t)=v'(t)[/tex] hay [tex]\int a(t)dt=v(t)+C[/tex]
Nhớ là khi lấy nguyên hàm xong cộng C nhé. Dựa vào dữ kiện để tìm nốt ra C. Thiếu C là đi chân lạnh toát luôn
Mẹo để nhớ sự liên hệ này cũng đơn giản. Ta đã biết s=v.t với chuyển động đều từ ngày xưa. Nên chỉ có s và v liên quan đến nhau trong công thức tích phân đã nêu này, còn gia tốc không liên quan đến s.
Ví dụ:
Lời giải: Dạng bài vận tốc cho bởi đồ thị như thế này đã từng xuất hiện trong đề thi năm 2017. Với dạng đồ thị như thế này, thì vấn đề là ta phải tìm được hàm số của đồ thị đó.
Ta có đồ thị parabol là của hàm bậc 2, có dạng: [tex]y=at^2+bt+c[/tex]
Do parabol đi qua O(0;0) nên c=0
Parabol đi qua [tex]I(\frac{1}{2};8)[/tex] và (1;0) nên thay tọa độ vào pt phải thỏa mãn. Vậy:
[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b=8\\ a+b=0 \end{matrix}\right.[/tex]
<=>a=-32,b=32
Vậy pt của parabol, hay hàm vận tốc là: [tex]v(t)=-32t^2+32t[/tex]
vậy quãng đường người đó chạy trong 1h là:
[tex]\int_{0}^{1}(-32t^2+32t)dt=\frac{16}{3}[/tex]
1 dạng khác mà có thể gặp đó là:
Tính giá trị trung bình của một đại lượng biến thiên theo thời gian trong 1 khoảng thời gian nhất định.
Các đại lượng có thể là nhiệt độ, điện áp.....Với dạng bài này thì lưu ý công thức tính giá trị trung bình sau: gọi f(t) là hàm biểu diễn giá trị của đại lượng cần tính, ta có giá trị trung bình trong khoảng thời gian T: [tex]\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt[/tex][tex][/tex]
Công thức này tương tự như tính giá trị trung bình của hàm rời rạc nên rất dễ hiểu. Ví dụ 3 số (1;2;3) ta có giá trị trung bình của nó bằng tổng giá trị các phần tử, chia cho số lượng phần tử(số lượng mẫu) (1+2+3)/3=2
Với phép tính tích phân, cũng là tính tổng giá trị tất cả các phần tử :[TEX]\int_{0}^{T}f(t)dt[/TEX]. Vậy sau khi lấy tổng ta phải chia cho số lương mẫu, đó là T. Vì vậy mà thu được công thức trên.
Ví dụ:
Lời giải:
Đầu tiên ta tính tổng giá trị nhiệt độ bằng phép tích phân:
[tex]\int_{8}^{20}50+14sin\frac{\pi t}{12}dt=600-\frac{168}{\pi }[/tex]
Ta đã lấy tổng này từ các mẫu liên tục trong T=20-8=12h, vậy giá trị trung bình là :
[tex](600-\frac{168}{\pi })/12=50-\frac{144}{\pi }[/tex]
Dạng tiếp theo mà mình nghĩ 70-80% là sẽ cho, đó là:
Ứng dụng đạo hàm để tìm min max cho bài toán thực tế ( tìm giá trị chi phí nhỏ nhất, độ dài ngắn nhất).
Thì mình đánh giá dạng này không khó, chỉ cần kiên trì đọc đề rồi biểu diễn các đại lượng quy về chỉ có 1 ẩn để khảo sát.
Ví dụ năm 2018 đã cho :
Lời giải: Gọi chiều rộng là x=> Chiều dài là 2x luôn .
Còn chiều cao cũng phải theo x, còn dữ kiện [TEX]6.5m^2[/TEX]chưa dùng, vậy dùng nốt. Lưu ý bể không nắp nên chỉ có 4 mặt bên chia làm 2 cặp có S bằng nhau, và 1 mặt đáy.
Tạm gọi chiều cao là h. Lấy tổng diện tích ta được:
[tex]2h.x+2h.2x+x.2x=6.5<=>h=\frac{6.5-2x^2}{6x}[/tex]
Vậy thể tích của bể là: [tex]f(x)=2x.x.\frac{6.5-2x^2}{6x}=\frac{13x-4x^3}{6}[/tex]
Tới đây tìm max f(x) bằng sử dụng đạo hàm là tìm ra được đáp án D.
Bài toán tính quãng đường, vân tốc, thời gian
Với những ai thi khối A, A1, có môn vật lý, thì bài toán này rất dễ vì trong vật lý học nhiều rồi. Chúng ta cần nhớ mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc, và gia tốc.
Cho vận tốc biến thiên theo thời gian: [TEX]v(t)[/TEX]
Thì ta có quãng đường chuyển động được tính bởi : [tex]\int v(t)dt=s(t)+C[/tex]
Còn gia tốc là đạo hàm của vận tốc: [tex]a(t)=v'(t)[/tex] hay [tex]\int a(t)dt=v(t)+C[/tex]
Nhớ là khi lấy nguyên hàm xong cộng C nhé. Dựa vào dữ kiện để tìm nốt ra C. Thiếu C là đi chân lạnh toát luôn
Mẹo để nhớ sự liên hệ này cũng đơn giản. Ta đã biết s=v.t với chuyển động đều từ ngày xưa. Nên chỉ có s và v liên quan đến nhau trong công thức tích phân đã nêu này, còn gia tốc không liên quan đến s.
Ví dụ:
Lời giải: Dạng bài vận tốc cho bởi đồ thị như thế này đã từng xuất hiện trong đề thi năm 2017. Với dạng đồ thị như thế này, thì vấn đề là ta phải tìm được hàm số của đồ thị đó.
Ta có đồ thị parabol là của hàm bậc 2, có dạng: [tex]y=at^2+bt+c[/tex]
Do parabol đi qua O(0;0) nên c=0
Parabol đi qua [tex]I(\frac{1}{2};8)[/tex] và (1;0) nên thay tọa độ vào pt phải thỏa mãn. Vậy:
[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b=8\\ a+b=0 \end{matrix}\right.[/tex]
<=>a=-32,b=32
Vậy pt của parabol, hay hàm vận tốc là: [tex]v(t)=-32t^2+32t[/tex]
vậy quãng đường người đó chạy trong 1h là:
[tex]\int_{0}^{1}(-32t^2+32t)dt=\frac{16}{3}[/tex]
1 dạng khác mà có thể gặp đó là:
Tính giá trị trung bình của một đại lượng biến thiên theo thời gian trong 1 khoảng thời gian nhất định.
Các đại lượng có thể là nhiệt độ, điện áp.....Với dạng bài này thì lưu ý công thức tính giá trị trung bình sau: gọi f(t) là hàm biểu diễn giá trị của đại lượng cần tính, ta có giá trị trung bình trong khoảng thời gian T: [tex]\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt[/tex][tex][/tex]
Công thức này tương tự như tính giá trị trung bình của hàm rời rạc nên rất dễ hiểu. Ví dụ 3 số (1;2;3) ta có giá trị trung bình của nó bằng tổng giá trị các phần tử, chia cho số lượng phần tử(số lượng mẫu) (1+2+3)/3=2
Với phép tính tích phân, cũng là tính tổng giá trị tất cả các phần tử :[TEX]\int_{0}^{T}f(t)dt[/TEX]. Vậy sau khi lấy tổng ta phải chia cho số lương mẫu, đó là T. Vì vậy mà thu được công thức trên.
Ví dụ:
Lời giải:
Đầu tiên ta tính tổng giá trị nhiệt độ bằng phép tích phân:
[tex]\int_{8}^{20}50+14sin\frac{\pi t}{12}dt=600-\frac{168}{\pi }[/tex]
Ta đã lấy tổng này từ các mẫu liên tục trong T=20-8=12h, vậy giá trị trung bình là :
[tex](600-\frac{168}{\pi })/12=50-\frac{144}{\pi }[/tex]
Dạng tiếp theo mà mình nghĩ 70-80% là sẽ cho, đó là:
Ứng dụng đạo hàm để tìm min max cho bài toán thực tế ( tìm giá trị chi phí nhỏ nhất, độ dài ngắn nhất).
Thì mình đánh giá dạng này không khó, chỉ cần kiên trì đọc đề rồi biểu diễn các đại lượng quy về chỉ có 1 ẩn để khảo sát.
Ví dụ năm 2018 đã cho :
Lời giải: Gọi chiều rộng là x=> Chiều dài là 2x luôn .
Còn chiều cao cũng phải theo x, còn dữ kiện [TEX]6.5m^2[/TEX]chưa dùng, vậy dùng nốt. Lưu ý bể không nắp nên chỉ có 4 mặt bên chia làm 2 cặp có S bằng nhau, và 1 mặt đáy.
Tạm gọi chiều cao là h. Lấy tổng diện tích ta được:
[tex]2h.x+2h.2x+x.2x=6.5<=>h=\frac{6.5-2x^2}{6x}[/tex]
Vậy thể tích của bể là: [tex]f(x)=2x.x.\frac{6.5-2x^2}{6x}=\frac{13x-4x^3}{6}[/tex]
Tới đây tìm max f(x) bằng sử dụng đạo hàm là tìm ra được đáp án D.
