Bài tập tổng hợp !

[pandahieu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) Giải phương trình $\dfrac{x^3}{3}+\frac{48}{x^2}=10(\frac{x}{3}-\frac{4}{x})$

b) Cho $a+b=\sqrt{10}$ Tính max của $P=(1+a^4)(1+b^4)$

c)Cho $a=444...44$ (2014 cữ số)

$b=222...222$ (1008 chữ số)

$c=888...88$ (1007 chữ số)
Xét xem $M=a+b+c+7$ có gì đặc biệt

d) Tìm chữ số tận cùng của $A=2+3+4^5+..+5^{2013}$

e) Cho tứ giác $ABCD$ có diện tích là $S$, trên cạnh $AB$ lấy 2 điểm $M,N$ sao cho $AM=MN=NB$
Trên $CD$ lấy 2 điểm $P,Q$ sao cho $DP=PQ=QC$. Tính diện tích $MNPQ$

g) Cho tứ giác $ABCD$. Trên canh $AB$ và $CD$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $MB=\frac{1}{t}AB$ $ND=\frac{1}{t}CD$ ($t>0$). Tìm tỉ số diện tích của $AMCN$ và $ABCD$

 

[pandahieu]

Sao không ai giải vậy, có cần gợi ý không mọi người

 

[braga]

[TEX]\fbox{b}.[/TEX] Từ [TEX]x+y=\sqrt{10}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2+y^2=10-2xy[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^4+y^4=100+2x^2y^2-40xy[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A=x^4y^4+100+2x^2y^2-40xy+1[/TEX]
[TEX]=x^4y^4-8x^2y^2+16+10x^2y^2-40xy+40+45[/TEX]
[TEX]=(x^2y^2-4)^2 +10(xy-2)^2+45 \geq 45 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow Min =45 \Leftrightarrow \left{xy=2\\x+y=\sqrt{10}[/TEX]

Về Max:
[TEX]xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{5}{2}[/TEX]
Đặt [tex]xy=q \geq 0[/tex]
[TEX]\Rightarrow q^3+2q-40 <0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=q(q^3+2q-40)+101 \leq 101 \Leftrightarrow q=0 \Rightarrow \left[x=0\\y=0[/TEX]

 

[janbel]

d) Tìm chữ số tận cùng của $A=2+3+4^5+..+5^{2013}$

Bổ đề: Với $a;k \in N$ thì $a^{4k+1} \equiv a \pmod {10}$

Chứng minh:

Áp dụng định lí Euler ta có:

$a^{\varphi(10)} \equiv 1 \pmod {10} \\ \to a^4 \equiv 1 \pmod{10} \\ \to a^{4k+1} \equiv a \pmod{10} \\ \to Q.E.D$

Áp dụng bổ đề ta được:

$A=2+3+4^5+...+5^{2013} \equiv 2+3+4+...+5 \pmod {10}$

...