Bài Tập Toán đại số 9

[garung90]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực x,y thoả mãn ${x}\neq{y},x\neq0,y\neq0$
CMR: $\frac{1}{(x-y)^2}$+$\frac{1}{x^2}$+$\frac{1}{y^2}$\geq$\frac{4}{xy}$

 

[congchuaanhsang]

Xét hiệu $\dfrac{1}{(x-y)^2}$+$\dfrac{1}{x^2}$+$\dfrac{1}{y^2}$-$\dfrac{4}{xy}$
=$\dfrac{x^2y^2}{x^2y^2(x-y)^2}$+$\dfrac{y^2(x-y)^2}{x^2y^2(x-y)^2}$+$\dfrac{x^2(x-y)^2}{x^2y^2(x-y)^2}$-$\dfrac{4xy(x-y)^2}{x^2y^2(x-y)^2}$
=$\dfrac{x^2y^2+y^2(x-y)^2+x^2(x-y)^2-4xy(x-y)^2}{x^2y^2(x-y)^2}$
=$\dfrac{x^4+y^4-6xy^3-6x^3y+11x^2y^2}{x^2y^2(x-y)^2}$
=$\dfrac{(x^4+2x^2y^2+y^4)-6xy(x^2+y^2)+9x^2y^2}{x^2y^2(x-y)^2}$
=$\dfrac{(x^2+y^2)^2-6xy(x^2+y^2)+(3xy)^2}{x^2y^2(x-y)^2}$
=$\dfrac{(x^2+y^2-3xy)^2}{x^2y^2(x-y)^2}$\geq0 với mọi x,y thỏa mãn ĐKXĐ
\Rightarrow$\dfrac{1}{(x-y)^2}$+$\dfrac{1}{x^2}$+$\dfrac{1}{y^2}$ \geq $\dfrac{4}{xy}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x^2$+$y^2$=3xy