Toán Bài tập toán 8

[nguyenlinhduyen1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho a,b,c bất kì, cm: [tex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3} \geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}[/tex]
2/ a. Cho [tex]x,y \epsilon R[/tex] x,y # 0.cm [tex]\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + 4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})[/tex]
b. cho a,b,c>0. cm [tex]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}> \frac{3}{a+b+c}[/tex]
3/ Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác. cm
[tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex] với p: nửa chu vi
4/ Cho [tex]0< a\leq b\leq c[/tex] . cm [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}[/tex]

 

[iceghost]

1/ đpcm $\iff (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geqslant 0$ (luôn đúng)
...
2/ đpcm $\iff \left( \dfrac{x}y + \dfrac{y}x - 2\right)\left( \dfrac{x}y + \dfrac{y}x - 1\right) \geqslant 0 \quad (1)$
Ta có $\left( \dfrac{x}y + \dfrac{y}x \right)^2 \geqslant 4 \dfrac{x}y \cdot \dfrac{y}x = 4$ nên $\dfrac{x}y + \dfrac{y}x \leqslant -2$ hoặc $\dfrac{x}y + \dfrac{y}x \geqslant 2$
Khi đó dễ thấy $(1)$ đúng. Ta có đpcm
3/ đpcm $\iff \dfrac{2}{b+c-a} + \dfrac2{c+a-b} + \dfrac2{a+b-c} \geqslant 2 \left(\dfrac1{a} + \dfrac1{b} + \dfrac1{c}\right)$
Áp dụng bđt $\dfrac{1}x + \dfrac1{y} \geqslant \dfrac{4}{x+y}$ với $x,y$ dương ta có
$$\dfrac1{b+c-a} + \dfrac1{c+a-b} \geqslant \dfrac{4}{b+c-a+c+a-b} = \dfrac2c$$
Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm ...

 

[machung25112003]

4
[tex]\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c}\geq 0 \\ \Leftrightarrow (\frac{a}{b}-\frac{c}{b})+(\frac{c}{a}-\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}-\frac{a}{c})\geq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{a-c}{b}+\frac{c-b}{a}+\frac{b-a}{c}\geq 0 \\\Leftrightarrow \frac{(a-c)ac}{abc}+\frac{(c-b)bc}{abc}+\frac{(b-a)ab}{abc}\geq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{(a-c)ac+(c-b)bc+(b-a)ab}{abc}\geq 0 \\ \Leftrightarrow (a-c)ac+(c-b)bc+(b-a)ab\geq 0 \\ \Leftrightarrow a^{2}c-c^{2}a+b^{2}a-ba^{2}+(c-b)bc\geq 0 \\ \Leftrightarrow a^{2}c-ba^{2}+b^{2}a-ba^{2}c^{2}a+(c-b)bc\geq 0\\ \Leftrightarrow a^{2}(c-b)+a(b^{2}-c^{2})+(c-b)bc\geq 0\\ \Leftrightarrow a^{2}(c-b)-a(c^{2}-b^{2})+(c-b)bc\geq 0\\ \Leftrightarrow a^{2}(c-b)-a(c-b)(c+b)+(c-b)bc\geq 0\\ \Leftrightarrow (c-b)(a^{2}-a(c+b)+bc)\geq 0\\ \Leftrightarrow (c-b)(a^{2}-ac+ab+bc)\geq 0\\ \Leftrightarrow (c-b)(a(a-c)-b(a-c))\geq 0\\ \Leftrightarrow (c-b)(a-c)(a-b)\geq 0\\ \Leftrightarrow (c-b)(c-a)(b-a)\geq 0[/tex]

luôn đúng, vì[tex]\left\{\begin{matrix}c-a\geq 0 \\ c-b\geq 0 \\ b-a\geq 0 \end{matrix}\right.[/tex])