bài tập tính tỉ số khối chóp đều cần gấp

M

maxqn

Bài này dùng phân chia khối đa diện cho dễ T__T
6152012125415pm.jpg

Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì $SO \perp (ABCD)$
Gọi K là giao điểm của MN và AC, F là giao điểm của KE với SO; B và D lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua F, song song BD và SB, SD.
Do tính đối xứng, ta có
$$\begin{cases} V_{S.MPEQN} = 2V_{S.MPEK} = 2 V_{S.NQEK} \\ V_{S.ABCD} = 2V_{S.ABC} = 2V_{S.ACD} \end{cases}$$
Do đó
$$\frac{V_{S.MPEQN}}{V_{S.ABCD}} = \frac{V_{S.MPEK}}{V_{S.ABC}}$$

6152012125428pm.jpg

Đường thẳng Ex qua E, song song với AC, cắt SO tại J.
Ta có :
$$\begin{aligned} & \begin{cases} EJ = OK \\ FJ = FO \end{cases} \\ \Rightarrow & \frac{SI}{SF} = \frac12 \\ \Rightarrow & \frac{SJ}{SJ + 2JF} = \frac12 \Rightarrow \frac{SI}{2JF} = 1 \Rightarrow \frac{FO}{SO} = \frac14 \end{aligned}$$

Do đó
$$\frac{SP}{SB} = \frac{SQ}{SD} = \frac{SF}{SO} = \frac34$$

Ta có:

$$V_{S.MPEK} = V_{P.AMK} + V_{S.PAKE}$$

$$3V_{P.AMK} = d(P;(ABCD)).S_{AMK} = \frac14.d(S;(ABCD)).\frac14.S_{ABC} = \frac3{16}V_{S.ABC}$$
Suy ra
$$\frac{V_{P.AMK}}{V_{S.ABC}} = \frac1{16} \Leftrightarrow \frac{V_{P.AMK}}{V_{S.ABCD}} = \frac1{32}$$

$$\begin{aligned} 3V_{P.AKES} = & d(P;(SAC)).S_{AKES} \\ = & \frac34.d(B;(SAC)).(S_{SAC} - S_{EKC}) \\ = & \frac34.d(B;(SAC)).S_{SAC} \left(1- \frac12.\frac34 \right) \\ = & \frac{45}{32}V_{S.ABC} \end{aligned} $$

Do đó
$$\frac{V_{P.AKES}}{V_{S.ABC}} = \frac{15}{32} \Rightarrow \frac{V_{P.AKES}}{V_{S.ABCD}} = \frac{15}{64}$$

Vậy
$$\frac{V_{S.MPEQN}}{V_{S.ABCD}} = 2 \left( \frac{V_{S.MPEK}}{V_{S.ABCD}} + \frac{V_{P.AKES}}{V_{S.ABCD}} \right) = \frac{17}{32}$$
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom