bài tập tích phân

[ykumibe@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người làm giúp mình con tích phân này nhé.


[tex]\int\limits_{1}^{e}\frac{ln^2(1+lnx)}{x}dx[/tex]

 

[i_am_challenger]

Mọi người làm giúp mình con tích phân này nhé.


[tex]\int\limits_{1}^{e}\frac{ln^2(1+lnx)}{x}dx[/tex]

Đặt[TEX] t=lnx \Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx[/TEX]

[tex]\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}t^2(1+t)dt[/tex]

[TEX]= \int\limits_{0}^{1}(t^2 + t^3)dt[/TEX]

[TEX]= \frac{t^3}{3} + \frac{t^4}{4}=\frac{7}{12}[/TEX]

giải thế không biết đúng không?

 

[vuive_yeudoi]

Cần tính
$$ I = \int_{1}^{e} \frac{\ln ^{2} \left( 1+ \ln x \right)}{x} dx $$
Đặt $t= \ln x $ , suy ra $ dt = \frac{dx}{x} $ . Lúc đó
$$ I=\int_{0}^{1} \ln ^{2} \left( 1+t \right) dt $$
Đặt
$$\begin{cases}
u =\ln ^{2} \left( 1+t \right) \\
dv=dt
\end{cases}$$
Suy ra
$$\begin{cases}
du = \frac{2 \ln \left(1+t \right)}{1+t} dt \\
v=t+1
\end{cases}$$
Vậy
$$ I=\left(u \cdot v \right) \big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v \ du \\
=2 \cdot \ln^{2} 2 - 2 \int_{0}^{1} \ln \left( 1+t \right) dt$$
Cần tính
$$ J= \int_{0}^{1} \ln \left( 1+t \right) dt$$
Dùng tích phân từng phân đặt
$$\begin{cases}
u_1 =\ln \left( 1+t \right) \\
dv_1=dt
\end{cases}$$
Suy ra
$$\begin{cases}
du_1 = \frac{dt}{1+t} \\
v_1=t+1
\end{cases}$$
Vậy
$$ J= \left(u_1 \cdot v_1 \right) \big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v_1 \ du_1 \\
=2 \cdot \ln 2 - \int_{0}^{1} 1 dt \\
= 2 \ln 2 -1$$
Tổng kết lại
$$ I=2 \cdot \ln^{2} 2 +2 - 4 \cdot \ln 2 $$

 

[vuive_yeudoi]

Đặt[TEX] t=lnx \Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx[/TEX]

[tex]\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}t^2(1+t)dt[/tex]

[TEX]= \int\limits_{0}^{1}(t^2 + t^3)dt[/TEX]

[TEX]= \frac{t^3}{3} + \frac{t^4}{4}=\frac{7}{12}[/TEX]

giải thế không biết đúng không?

Nhìn nhầm đề rồi .

Cái em đang tính
$$I_1 = \int_{1}^{e} \frac{\ln ^{2} x \cdot \left( 1+ \ln x \right)}{x} dx$$
Đề bài ở đây lại là
$$ I = \int_{1}^{e} \frac{\ln ^{2} \left( 1+ \ln x \right)}{x} dx$$

 

[tsukushi493]

Cần tính
$$ I = \int_{1}^{e} \frac{\ln ^{2} \left( 1+ \ln x \right)}{x} dx $$
Đặt $t= \ln x $ , suy ra $ dt = \frac{dx}{x} $ . Lúc đó
$$ I=\int_{0}^{1} \ln ^{2} \left( 1+t \right) dt $$
Đặt
$$\begin{cases}
u =\ln ^{2} \left( 1+t \right) \\
dv=dt
\end{cases}$$
Suy ra
$$\begin{cases}
du = \frac{2 \ln \left(1+t \right)}{1+t} dt \\
v=t+1
\end{cases}$$
Vậy
$$ I=\left(u \cdot v \right) \big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v \ du \\
=2 \cdot \ln^{2} 2 - 2 \int_{0}^{1} \ln \left( 1+t \right) dt$$
Cần tính
$$ J= \int_{0}^{1} \ln \left( 1+t \right) dt$$
Dùng tích phân từng phân đặt
$$\begin{cases}
u_1 =\ln \left( 1+t \right) \\
dv_1=dt
\end{cases}$$
Suy ra
$$\begin{cases}
du_1 = \frac{dt}{1+t} \\
v_1=t+1
\end{cases}$$
Vậy
$$ J= \left(u_1 \cdot v_1 \right) \big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v_1 \ du_1 \\
=2 \cdot \ln 2 - \int_{0}^{1} 1 dt \\
= 2 \ln 2 -1$$
Tổng kết lại
$$ I=2 \cdot \ln^{2} 2 +2 - 4 \cdot \ln 2 $$

Cùng chung ý tưởng đổi biến rồi từng phần, nhưng đặt t = 1+ lnx ngắn gọn và hợp lý hơn, 2 lần từng phần cũng đơn giản hơn.