bài tập tết

[trangbu99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho x,y,z nguyên thỏa mãn [TEX]x^2 + y^2 = 2z^2 [/TEX]. CMR [TEX]x^2 - y^2[/TEX][TEX]\vdots[/TEX] 48
2.Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR phương trình [TEX]x^2 + y^2 + z^2 = 4p^2 + 1[/TEX] luôn có nghiệm nguyên dương.
3.Cho P= [TEX]a^n+b^n+c^n+d^n[/TEX] với a,b,c,d là số tự nhiên > 0 và ab-cd=0.
CMR P là hợp số.

 

[eye_smile]

3.Gọi ƯCLN của a và d là x
Ta có: $a=x.a_1$; $d=x.d_1$ ; $a_1$ và $d_1$ nguyên tố cùng nhau
Từ giả thiết suy ra ab=cd
\Leftrightarrow $x.a_1.b=c.x.d_1$
\Leftrightarrow $a_1.b=c.d_1$ (*)
\Rightarrow $a_1.b$ chia hết cho $d_1$
\Rightarrow $b$ chia hết cho $d_1$
Đặt $b=y.d_1$
Thay vào (*) được: $a_1.y.d_1=c.d_1$
\Leftrightarrow $a_1.y=c$
Suy ra
$P={a^n}+{b^n}+{c^n}+{d^n}={x^n}.{a_1^n}+{y^n}.{d_1^n}+{a_1^n}.{y^n}+{x^n}.{d_1^n}=({a_1^n}+{d_1^n})({x^n}+{y^n})$
Suy ra P là hợp số

 

[eye_smile]

1.Giả sử ${x^2}$ và ${y^2}$ không cùng số dư khi chia cho 3
Suy ra ${x^2}+{y^2}$ chia 3 dư 1
Còn $2{z^2}$ chia 3 dư 0 hoặc 2
Suy ra vô lý
Vậy ${x^2}-{y^2}$ chia hết cho 3
Giả sử ${x^2}$ và ${y^2}$ không cùng số dư khi chia cho 16
\Rightarrow ${x^2}+{y^2}$ chia 16 dư 1;4;9;5;0;3
Còn $2{z^2}$ chia 16 dư 0;2;8
Để dấu = xảy ra thì cả 2 vế đều chia 16 dư 0
Khi đó ${x^2}$ chia 16 dư 9 \Rightarrow ${x^2}=16k_1+9$
${y^2}$ chia 16 dư 1 \Rightarrow ${y^2}=16k_2+1$
và $2{z^2}=32k_3$
\Rightarrow vô lý do VT không chia hết cho 4; VP chia hết cho 4
\Rightarrow ${x^2}-{y^2}$ chia hết cho 16
\Rightarrow đpcm