Bài tập số học ôn chuyên

[toantoan2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) cho a,b,c khác 0; a+b+c=abc; $a^2=bc$ CM: $a^2$ \geq 3
2) tìm số nguyên n để $n^4+2n^3+2n^2+n+7$ là số chính phương
3) giải phương trình nghiệm nguyên $2x-2\sqrt[]{y+2} = 2\sqrt[]{2x+1} -y$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Thay $bc=a^2$ vào $a+b+c=abc$ ta được $b+c=a^3-a$
Ta luôn có $(b-c)^2\ge 0$ nên $(b+c)^2\ge 4bc$ hay $(a^3-a)^2\ge 4a^2$
Tương đương với $a^2(a^2+1)(a^2-3)\ge 0$
Do $a\ne 0$ và $a^2+1>0$ nên $a^2-3\ge 0$ hay $a^2\ge 3$
Bài 2. Ta có:
$4(n^4+2n^3+2n^2+n+7)=(2n^2+2n+1)^2+27=4y^2$
Đến đây gom hằng đẳng thức lại hoặc kẹp như sau:
Xét $x\in \{-2;-1;0;1\}$ không thỏa mãn.
Xét $x<-2$ và $x>1$ thì $(2n^2+2n+3)^2>(2n^2+2n+1)^2+27>(2n^2+2n+1)^2$
Do đó $(2n^2+2n+1)^2+27=(2n^2+2n+2)^2$ hay $n=2$ hoặc $n=-3$
Thử lại thỏa mãn.
Bài 3. $2x+y=2\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{y+2}\right)$. Do $x,y$ nguyên nên $2x+1$ và $y+2$ nguyên, suy ra $\sqrt{2x+1}+\sqrt{y+2}$ nguyên. Ngoài ra $\sqrt{a}$ với $a$ nguyên dương là biểu diễn duy nhất nên $\sqrt{2x+1}$ và $\sqrt{y+2}$ nguyên.
Đặt $2x=a^2-1$ và $y=b^2-2$ thì ta có $a^2+b^2-3=2(a+b)$ hay $(a-1)^2+(b-1)^2=5$ kéo theo $(|a-1|,|b-1|)\in \{(1,2), (2,1)\}$
Thay từng trường hợp vào giải ta được $x=4, y=\pm 2$