Toán 9 Bài tập: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

[Vũ Lam Nhật Nhật]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Chứng minh các số sau nguyên:
[tex]\frac{(5+2\sqrt{6})(49-20\sqrt{6})\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}[/tex]
2) Cho x,y,z > 0 thỏa mãn [tex]x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}=3\sqrt{xyz},[/tex]
Tính giá trị biểu thức
[tex]A=(1+\sqrt{\frac{x}{y}})(1+\sqrt{\frac{y}{z}})(1+\sqrt{\frac{z}{x}})[/tex]

 

[baogiang0304]

A=[tex]\frac{(5+2\sqrt{6})(5^{2}-2.5.2^{6}+(2\sqrt{6})^{2})\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-2.\sqrt{2}.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}.(9\sqrt{3}+11\sqrt{2})}{1}[/tex]=[tex]\frac{(5-2\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{2}).(9\sqrt{3}+11\sqrt{2})}{1}=\frac{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}{1}=1[/tex]

 

[Ann Lee]

2) Cho x,y,z > 0 thỏa mãn [tex]x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}=3\sqrt{xyz},[/tex]
Tính giá trị biểu thức
[tex]A=(1+\sqrt{\frac{x}{y}})(1+\sqrt{\frac{y}{z}})(1+\sqrt{\frac{z}{x}})[/tex]

$x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}=3\sqrt{xyz}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}-3\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})+z\sqrt{z}=3\sqrt{xyz}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{3}-3\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+(\sqrt{z})-3\sqrt{z}(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\left [ (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}-3\sqrt{xy}-3\sqrt{z}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \right ]=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\left ( x+y+z-\sqrt{xy}-\sqrt{yz}-\sqrt{zx} \right )=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\frac{1}{2}\left [ \left ( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y}-\sqrt{z} \right )^{2}+\left ( \sqrt{z}-\sqrt{x} \right )^{2} \right ]=0$
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=0[/tex] hoặc [tex]\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}[/tex]
TH1: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=0$ (*)
Vì [tex]x;y;z>o\Rightarrow \sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}>0\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}>0\Rightarrow (*)[/tex] vô lý
TH2: [tex]\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}[/tex] $\Rightarrow x=y=z$
$ \Rightarrow A=(1+\sqrt{\frac{x}{y}})(1+\sqrt{\frac{y}{z}})(1+\sqrt{\frac{z}{x}})=(1+1)(1+1)(1+1)=8$

 

[baogiang0304]

$x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}=3\sqrt{xyz}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}-3\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})+z\sqrt{z}=3\sqrt{xyz}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{3}-3\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+(\sqrt{z})-3\sqrt{z}(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\left [ (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}-3\sqrt{xy}-3\sqrt{z}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \right ]=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\left ( x+y+z-\sqrt{xy}-\sqrt{yz}-\sqrt{zx} \right )=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\frac{1}{2}\left [ \left ( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y}-\sqrt{z} \right )^{2}+\left ( \sqrt{z}-\sqrt{x} \right )^{2} \right ]=0$
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=0[/tex] hoặc [tex]\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}[/tex]
TH1: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=0$
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=-\sqrt{y}-\sqrt{z}\\ \sqrt{y}=-\sqrt{x}-\sqrt{z} \\ \sqrt{z}=-\sqrt{x}-\sqrt{y} \end{matrix}\right.[/tex]
Vì [tex]x,y,z> 0[/tex] nên
$A=(1+\sqrt{\frac{x}{y}})(1+\sqrt{\frac{y}{z}})(1+\sqrt{\frac{z}{x}})$
$=\left ( 1+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \right )\left ( 1+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}} \right )\left (1+ \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}} \right )$
$=\frac{\sqrt{y}+\sqrt{x}}{\sqrt{y}}.\frac{\sqrt{z}+\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{\sqrt{x}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}}$
$=\frac{-\sqrt{z}}{\sqrt{y}}.\frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{z}}.\frac{-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=-1$

TH2: [tex]\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}[/tex] $\Rightarrow x=y=z$
$ \Rightarrow A=(1+\sqrt{\frac{x}{y}})(1+\sqrt{\frac{y}{z}})(1+\sqrt{\frac{z}{x}})=(1+1)(1+1)(1+1)=8$

ta có[tex]\sqrt{x}\geq 0;\sqrt{y}\geq 0;\sqrt{z}\geq 0[/tex] mà [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=0[/tex]
vậy x=y=z=0 mà x,y,z>0 nên loại trường hợp nên không có A=-1