$\triangle ABI$ vuông tại $I$ có $IM\perp AB\Rightarrow AI^2=AM.AB$
$\triangle ACI$ vuông tại $I$ có $IN\perp AC\Rightarrow AI^2=AN.AC$
$\Rightarrow AI^4=AB.AC.AM.AN$
Mà $AB.AC=BC.AI\Rightarrow AI^4=BC.AI.AM.AN\Rightarrow AI^3=BC.AM.AN$
$\triangla ABC$ vuông tại $A$ có $AI\perp BC$. Theo HTL ta có:
$AB^2=BI.BC;AC^2=CI.BC\Rightarrow \dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BI.BC}{CI.BC}=\dfrac{BI}{CI}$