bài tập hình học

[ngoctrangcn1998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC nhọn ,đường cao AH.Gọi K là điểm đối xứng với H qua AB,I là điểm đối xứng với H qua AC,E là giao điểm của KI và AB.chứng minh rằng :
a,tứ giác AICH là tứ giác nội tiếp
b,AI=AK
c,5 điểm A,E,H,C,I cùng nằm trên 1 đường tròn
d,CE vuông góc với AB

 

[congchuaanhsang]

a, Ta có: $\hat{AHI}$=$\hat{ACH}$ (cùng phụ với $\hat{HAC}$)
Vì I đối xứng với H qua AC\RightarrowAH=AI\Rightarrow$\hat{AHI}$=$\hat{AIH}$
\Rightarrow$\hat{ACH}$=$\hat{AIH}$
\RightarrowTứ giác AHCI nội tiếp.(1)
b, Vì K đối xứng với H qua AB\RightarrowAH=AK
Mà AH=AI (theo câu a)\RightarrowAI=AK
c, Cm tương tự câu a ta đk tứ giác AKBH nội tiếp
Mà $\hat{AHB}$=$90^0$\Rightarrow$\hat{AKB}$=$90^0$
K đối xứng với H qua AB\Rightarrow$\hat{EHB}$=$\hat{EKB}$
Tứ giác AICH nội tiếp\Rightarrow$\hat{AIC}$=$90^0$
Mặt khác AI=AK\RightarrowTam giác AIK cân ở A
\Rightarrow$\hat{AKI}$=$\hat{AIK}$
Lại có: $\hat{EKB}$=$\hat{AKB}$-$\hat{AKI}$=$90^0$-$\hat{AKI}$
$\hat{EIC}$=$\hat{AIC}$-$\hat{AIK}$=$90^0$-$\hat{AIK}$
Do đó $\hat{EKB}$=$\hat{EIC}$\Leftrightarrow$\hat{EHB}$=$\hat{EIC}$
\RightarrowTứ giác EICH nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow đpcm
c, Vì A;I;C;H;E cùng thuộc một đường tròn\RightarrowTứ giác AEHC nội tiếp
\Rightarrow$\hat{AEC}$=$\hat{AHC}$=$90^0$
\RightarrowCE vuông góc với AB

 

[anhha98]

cách giai tương tự

a, Ta có: $\hat{AHI}$=$\hat{ACH}$ (cùng phụ với $\hat{HAC}$)
Vì I đối xứng với H qua AC\RightarrowAH=AI\Rightarrow$\hat{AHI}$=$\hat{AIH}$
\Rightarrow$\hat{ACH}$=$\hat{AIH}$
\RightarrowTứ giác AHCI nội tiếp.(1)
b, Vì K đối xứng với H qua AB\RightarrowAH=AK
Mà AH=AI (theo câu a)\RightarrowAI=AK
c, Cm tương tự câu a ta đk tứ giác AKBH nội tiếp
Mà $\hat{AHB}$=$90^0$\Rightarrow$\hat{AKB}$=$90^0$
K đối xứng với H qua AB\Rightarrow$\hat{EHB}$=$\hat{EKB}$
Tứ giác AICH nội tiếp\Rightarrow$\hat{AIC}$=$90^0$
Mặt khác AI=AK\RightarrowTam giác AIK cân ở A
\Rightarrow$\hat{AKI}$=$\hat{AIK}$
Lại có: $\hat{EKB}$=$\hat{AKB}$-$\hat{AKI}$=$90^0$-$\hat{AKI}$
$\hat{EIC}$=$\hat{AIC}$-$\hat{AIK}$=$90^0$-$\hat{AIK}$
Do đó $\hat{EKB}$=$\hat{EIC}$\Leftrightarrow$\hat{EHB}$=$\hat{EIC}$
\RightarrowTứ giác EICH nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow đpcm
c, Vì A;I;C;H;E cùng thuộc một đường tròn\RightarrowTứ giác AEHC nội tiếp
\Rightarrow$\hat{AEC}$=$\hat{AHC}$=$90^0$
\RightarrowCE vuông góc với AB

sd cách giải này là hay rồi