bài tập đội tuyển

[boomber]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Giải phương trình nghiệm nguyên: [TEX]x^2-xy+y^2=3[/TEX]
2/ Cho hình lục giác đều ABCDEG. Người ta tô màu đỏ hai đỉnh A và D, tô màu xanh 4 đỉnh còn lại. Sau đó người ta đổi màu các đỉnh đó theo quy tắc sau: Mỗi lần đổi màu phải chọn ba đỉnh của 1 tam giác cân rồi đổi màu đồng thời cả ba đỉnh đó (xanh thành đỏ, đỏ thành xanh). Hỏi sau một số lần đổi màu theo quy tắc này có thu được kết quả là đỉnh C có màu đỏ còn 5 đỉnh còn lại có màu xanh không?

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:
$x^2-yx+y^2-3=0$
$\Delta = y^2-4y^2+12=-3y^2+12 \ge 0$
\Leftrightarrow $y^2 \le 4$
\Leftrightarrow $-2 \le y \le 2$
vì $x, y \in Z$
\Leftrightarrow $y \in D=${$-2;-1;0;1;2$}

$x=\frac{y+\sqrt{-3y^2+12}}{2}$
$x=\frac{y-\sqrt{-3y^2+12}}{2}$

Tới đây thế các giá trị của $y$ trong $D$ là ra kết quả.

 

[boomber]

em tìm được lời giải rồi:

+ Có đúng một đỉnh thuộc cặp A, D
+ Có đúng một đỉnh thuộc cặp B, E
+ Có đúng một đỉnh thuộc cặp C, G
Và ngược lại, cách chọn đỉnh như trên cũng luôn tạo ra một tam giác cân.

Bây giờ ký hiệu f(M,N) là trạng thái của hai điểm M và N, f(M,N) = 1 nếu hai điểm M và N được tô màu giống nhau, f(M,N) = 0 nếu hai điểm đó được tô màu khác nhau. Từ nhận xét, ta suy ra:
Sau một lần đổi màu thì cả ba trạng thái f(A,D), f(B,E) và f(C,G) đều thay đổi. (Ví dụ trước khi đổi màu trạng thái đang là f(A,D) = 1, f(B,E) = 1, f(C,G) = 1 thì sau khi đổi, với bất kỳ cách chọn tam giác cân nào, trạng thái sẽ là f(A,D) = 0, f(B,E) = 0, f(C,G) = 0)

Quay trở lại câu hỏi của bài toán là có thể đổi màu từ trạng thái (A, B, C, D, E, G) = (đỏ, xanh, xanh, đỏ, xanh, xanh) sang trạng thái (A, B, C, D, E, G) = (xanh, xanh, đỏ, xanh, xanh, xanh). Câu trả lời là không thể. Vì trạng thái ban đầu là:
f(A,D) = f(B,E) = f(C,G) = 1
thì sau một số số lần đổi ta luôn có f(A,D) = f(B,E) = f(C,G) (nghĩa là ba cặp này hoặc là đồng thời ở trạng thái cùng màu, hoặc là đồng thời ở trạng thái khác màu)
Mà trạng thái cần đạt đến là f(A,D) = 0, f(B,E) = 1, f(C,G) = 1