Toán 11 bài tập đồ thị hàm số của đạo hàm

[Hoang Minh123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.cho hàm số [tex]y= x^{3}+ 3x^{2}+ 3x +5[/tex] . Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm ấy vuông góc với nhau
2.tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số [tex]\frac{x^{3}+1}{x}[/tex]=y, biết mỗi tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng [tex]\frac{1}{2}[/tex]
3.cho hàm số [tex]y= x^{3}+3x^{2}+mx+1[/tex] (Cm). tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1) ,D,E. tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc
MONG MỌI NGƯỜI GIẢI CHI TIẾT GIÚP MÌNH VỚI -ạ!

 

[Hoang Minh123]

--------------

1.cho hàm số [tex]y= x^{3}+ 3x^{2}+ 3x +5[/tex] . Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm ấy vuông góc với nhau
2.tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số [tex]\frac{x^{3}+1}{x}[/tex]=y, biết mỗi tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng [tex]\frac{1}{2}[/tex]
3.cho hàm số [tex]y= x^{3}+3x^{2}+mx+1[/tex] (Cm). tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1) ,D,E. tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc
MONG MỌI NGƯỜI GIẢI CHI TIẾT GIÚP MÌNH VỚI -ạ!
ai giúp em với

 

[Hoang Minh123]

--------------

@matheverytime

 

[iceghost]

1.cho hàm số [tex]y= x^{3}+ 3x^{2}+ 3x +5[/tex] . Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm ấy vuông góc với nhau
2.tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số [tex]\frac{x^{3}+1}{x}[/tex]=y, biết mỗi tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng [tex]\frac{1}{2}[/tex]
3.cho hàm số [tex]y= x^{3}+3x^{2}+mx+1[/tex] (Cm). tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1) ,D,E. tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc
MONG MỌI NGƯỜI GIẢI CHI TIẾT GIÚP MÌNH VỚI -ạ!

1. $y = (x+1)^3 + 4$
$y' = 3(x+1)^2$
Gọi $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ là hai điểm thuộc $(C)$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$: $y'(x_A) = 3(x_A + 1)^2$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $B$: $y'(x_B) = 3(x_B + 1)^2$
Giả sử hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ vuông góc với nhau thì $y'(x_A) \cdot y'(x_B) = -1 \iff 9(x_A + 1)^2 (x_B+1)^2 = -1$ (vô lý)
Vậy không có $A$, $B$ thỏa điều giả sử nên ta có đpcm

3. $y = x^3 + 3x^2 + mx + 1$
$y' = 3x^2 + 6x + m$
Pt hoành độ giao điểm của $(C_m)$ và đường thẳng $y=1$: $x^3+3x^2+mx+1=1 \iff x = 0 \vee x^2 + 3x+m=0 \ (*)$
Do $C(0,1)$ nên gọi $D(x_D,y_D)$, $E(x_E,y_E)$ thì $x_D,x_E$ là hai nghiệm của phương trình $(*)$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $D$: $y'(x_D) = 3x_D^2 + 6x_D + m$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $E$: $y'(x_E) = 3x_E^2 + 6x_E + m$
Để hai tiếp tuyến tại $D$ và $E$ vuông góc nhau thì $$y'(x_D) \cdot y'(x_E) = -1 \\ \iff (3x_D^2 + 6x_D + m)(3x_E^2 + 6x_E + m) = -1 \\ \iff 9(x_Dx_E)^2 + 18x_Dx_E(x_D+x_E) + m(x_D^2 + x_E^2) + 36x_Dx_E + 6m(x_D + x_E) + m^2 = -1 \ (1)$$
Theo định lý Vi-ét cho pt $(*)$ thì $x_D + x_E = -3$, $x_Dx_E = m$
$(1) \iff 9m^2 + 18m \cdot (-3) + m[(-3)^2 - 2m] + 36m + 6m \cdot (-3) + m^2 = -1$
$\iff 8m^2 -27m+1 = 0$
$\iff ...$ (sai chỗ nào không mà số xấu thế nhờ?)

 

[Hoang Minh123]

1. $y = (x+1)^3 + 4$
$y' = 3(x+1)^2$
Gọi $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ là hai điểm thuộc $(C)$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$: $y'(x_A) = 3(x_A + 1)^2$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $B$: $y'(x_B) = 3(x_B + 1)^2$
Giả sử hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ vuông góc với nhau thì $y'(x_A) \cdot y'(x_B) = -1 \iff 9(x_A + 1)^2 (x_B+1)^2 = -1$ (vô lý)
Vậy không có $A$, $B$ thỏa điều giả sử nên ta có đpcm

3. $y = x^3 + 3x^2 + mx + 1$
$y' = 3x^2 + 6x + m$
Pt hoành độ giao điểm của $(C_m)$ và đường thẳng $y=1$: $x^3+3x^2+mx+1=1 \iff x = 0 \vee x^2 + 3x+m=0 \ (*)$
Do $C(0,1)$ nên gọi $D(x_D,y_D)$, $E(x_E,y_E)$ thì $x_D,x_E$ là hai nghiệm của phương trình $(*)$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $D$: $y'(x_D) = 3x_D^2 + 6x_D + m$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $E$: $y'(x_E) = 3x_E^2 + 6x_E + m$
Để hai tiếp tuyến tại $D$ và $E$ vuông góc nhau thì $$y'(x_D) \cdot y'(x_E) = -1 \\ \iff (3x_D^2 + 6x_D + m)(3x_E^2 + 6x_E + m) = -1 \\ \iff 9(x_Dx_E)^2 + 18x_Dx_E(x_D+x_E) + m(x_D^2 + x_E^2) + 36x_Dx_E + 6m(x_D + x_E) + m^2 = -1 \ (1)$$
Theo định lý Vi-ét cho pt $(*)$ thì $x_D + x_E = -3$, $x_Dx_E = m$
$(1) \iff 9m^2 + 18m \cdot (-3) + m[(-3)^2 - 2m] + 36m + 6m \cdot (-3) + m^2 = -1$
$\iff 8m^2 -27m+1 = 0$
$\iff ...$ (sai chỗ nào không mà số xấu thế nhờ?)

bài 2 nữa ạ @iceghost

 

[iceghost]

1.cho hàm số [tex]y= x^{3}+ 3x^{2}+ 3x +5[/tex] . Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm ấy vuông góc với nhau
2.tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số [tex]\frac{x^{3}+1}{x}[/tex]=y, biết mỗi tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng [tex]\frac{1}{2}[/tex]
3.cho hàm số [tex]y= x^{3}+3x^{2}+mx+1[/tex] (Cm). tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1) ,D,E. tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc
MONG MỌI NGƯỜI GIẢI CHI TIẾT GIÚP MÌNH VỚI -ạ!

2/ $y = x^2 + \dfrac{1}{x}$
$y' = 2x - \dfrac{1}{x^2}$
Gọi $d$ là một tiếp tuyến của độ thị, tiếp điểm là $M(x_0,y_0)$.
PTTT $d: y = y'(x_0) (x-x_0) + y_0$
Gọi $A = d \cap Ox$ có tọa độ là nghiệm của hpt $\begin{cases} y = y'(x_0)(x -x_0) + y_0 \\ y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -\dfrac{y_0}{y'(x_0)} + x_0 = -\dfrac{x_0^2 + \dfrac{1}{x_0}}{2x_0 - \dfrac{1}{x_0^2}} + x_0 = -\dfrac{x_0^4 + x_0}{2x_0^3 - 1} + x_0 = \dfrac{x_0^4}{2x_0^3 - 1} \\ y = 0 \end{cases}$
Gọi $B = d \cap Oy$ có tọa độ là nghiệm của hpt $\begin{cases} y = y'(x_0)(x-x_0) + y_0 \\ x = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0 \\ y = -x_0 y'(x_0) + y_0 = -2x_0^2 - \dfrac{1}{x_0} + x_0^2 + \dfrac{1}{x_0} = -x_0^2 \end{cases}$
Từ đó có $A(\dfrac{x_0^4}{2x_0^3 - 1}, 0)$ và $B(0, -x_0^2)$. Để $OAB$ tạo thành một tam giác thì $A, B$ phải khác $O$ hay $x_0 \ne 0$
ycbt $\iff S_{\triangle{ABO}} = \dfrac12$
$\iff \dfrac12 \cdot OA \cdot OB = \dfrac12$
$\iff \dfrac12 \cdot \left|\dfrac{x_0^4}{2x_0^3 - 1}\right| \cdot |-x_0^2| = \dfrac12$
$\iff x_0^6 = |2x_0^3 - 1|$
$\iff \left[ \begin{array}{l} x_0^6 = 2x_0^3 - 1 \\ x_0^6 = -2x_0^3 +1 \end{array} \right.$
Bạn giải tiếp nhé...