Toán 9 Bài tập chứng minh nâng cao khó

[Nguyen152003]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho Hệ phương trình
ax + by = c
bx + cy = a
cx + ay = b
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ trên có nghiệm là [tex]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc[/tex]

 

[Hạ Mộcc]

Gọi (x,y) là nghiệm của hệ, ta được:
[tex]\left\{\begin{matrix}ax+by=c & & & \\ bx+cy=a & & & \\ cx+ay=b & & & \end{matrix}\right.[/tex]
Cộng 3 pt theo vế với vế, ta được: [tex](a+b+c)(x+y)=a+b+c[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a+b+c)(x+y-1)=0[/tex]
Ta xét 2TH :
[tex]\ast[/tex] [tex] a+b+c=0[/tex]
[tex]\ast[/tex] [tex][/tex] Nếu [tex]a+b+c\neq 0\Rightarrow x+y=1\Leftrightarrow y=x-1[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}(a-b)x=c-b & & \\ (b-c)x=a-c & & \end{matrix}\right.[/tex]

• Nếu a=b, từ pt đầu [tex]\Rightarrow c-b=0\Rightarrow b=c[/tex]
• Nếu b=c, từ pt sau [tex]\Rightarrow a-c=0\Rightarrow a=c\Leftrightarrow a=b=c[/tex]
• Xét [tex]a\neq b, b\neq c[/tex] từ hệ trên ta có: [tex]x= \frac{c-b}{a-b}=\frac{a-c}{b-c}[/tex]

[tex]\Rightarrow (c-b)(b-c)=(a-b)(a-c)\Rightarrow -b^{2}+2bc-c^{2}=a^{2}-ab-ac-bc[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0\Rightarrow a=b=c[/tex]

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi [tex]a=b=c[/tex] hoặc [tex]a+b+c=0[/tex]
Ta có HĐT : [tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)[/tex]
Từ điều kiện trên ta suy ra : [tex]a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0[/tex] (đpcm)