Bài tập chứng minh bất đẳng thức

[trantuong99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a, b> 0 thỏa mãn a[TEX]^3[/TEX]+ b[TEX]^3[/TEX]=a-b. Chứng minh a[TEX]^2[/TEX] + b[TEX]^2[/TEX] +ab<1.
Bài 2: Cho abcd=1 và a, b, c, d > 0. Chứng minh: a[TEX]^2[/TEX] + b[TEX]^2[/TEX] + c[TEX]^2[/TEX] + d[TEX]^2[/TEX] +ab+cd\geq6.
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh 1/a+b, 1/b+c, 1/c+a cũng là 3 cạnh của tam giác

 

[cry_with_me]

=))
mới sáng tạo ra 1 cách cm cho bài 1 )

theo đề bài:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

vì a,b>0 nên

a+b>0

$a^2 - ab + b^2 >0$

mà $a^3 + b^3 = a-b$

$\rightarrow a>b$

ta có:

$a^2 + ab + b^2 <1$

$\rightarrow (a-b)(a^2 +ab +b^2) <a-b$

$\leftrightarrow a^3 -b^3 < a^3 + b^3$ (BDT đúng vì a,b >0)

hè hè

 

[braga]

Bài 2: Cho abcd=1 và a, b, c, d > 0. Chứng minh: a[TEX]^2[/TEX] + b[TEX]^2[/TEX] + c[TEX]^2[/TEX] + d[TEX]^2[/TEX] +ab+cd\geq6.
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh 1/a+b, 1/b+c, 1/c+a cũng là 3 cạnh của tam giác

Bài 2:

Ta có: [TEX]a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd \geq 2ab+2cd+ab+cd=3(ab+cd)[/TEX]

Ta lại có: [TEX]ab+cd=ab+\frac{1}{ab}\geq 2[/TEX]

Từ đó suy ra đièu phải chứng minh

Bài 3: Ta có: [TEX]a+b>c \ ; \ b+c>a \ ; \ a+c>b[/TEX]

Xét [TEX]\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+a}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}[/TEX]

Tương tự [TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c} \ ; \ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c}[/TEX]

Vậy [TEX]\frac{1}{a+c};\frac{1}{b+c};\frac{1}{a+b}[/TEX] là 3 cạnh của tam giác