Bài tập BDT

[vuminhquan99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh các BDT sau:
Cho tất cả số dương:

Cho mình hỏi thêm khi sử dụng các bất đẳng thức ví dụ bunhiacopski,schwarz có phải chứng minh lại trong bài làm không????

 

[demon311]

Câu 2 đề chắc là $\sqrt{ a}+\sqrt{ a+2} < 2\sqrt{ a+1}$ vì nếu a=0,00000001 thì đề sai

$\sqrt{ a}+\sqrt{ a+2} < 2\sqrt{ a+1} \\
(\sqrt{ a}+\sqrt{ a+2})^2 \le 2(a+a+2)=4a+4 =(2\sqrt{ a+1})^2$

Dấu bằng xảy ra: $a=a+2$ -> không tồn tai
Dấu bằng không xảy ra dẫn đến $\sqrt{ a}+\sqrt{ a+2} < 2\sqrt{ a+1}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1 hình như thiếu $ab\ge 1$

Bài 2: Chọn $x=1$. Đề sai

Bài 3:

Đặt $\vec{u}=(a;b); \vec{v}=(c;d)$

$|\vec{a}|+|\vec{b}| \ge |\vec{a}+\vec{b}|$

Hay $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

Nếu đề như anh Demon nói thì

$\sqrt{a}+\sqrt{a+2}\le \sqrt{2(2a+2)}=2\sqrt{a+1}$ (Cauchy-Schwarz)

Đẳng thức không xảy ra.

 

[vuminhquan99]

Ừm bài 1, Đk cậu ghi đúng rồi giúp tớ nhé!! Bài 3 cậu dùng gì vậy mình mới học BDT nên cậu chỉ rõ hơn tí xíu nha!!VỚi lại cái câu hỏi cuối trả lởi giùm nhé!!!Thanks you

 

[huynhbachkhoa23]

Câu cuối dùng hình học về độ dài 2 vector.

Bài 1:

Quy đồng lên: $\dfrac{2+a^2+b^2}{(1+a^2)(1+b^2)} \ge \dfrac{2}{1+ab}$

$\leftrightarrow (2+a^2+b^2)(1+ab) \ge 2(1+a^2)(1+b^2)$

$\leftrightarrow (ab-1)(a^2+b^2)-2ab(ab-1) \ge 0$

$\leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2 \ge 0\;\;$(đúng)

Vậy BDT đầu đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ab=1$ hoặc $a=b$