Bài tập bất đẳng thức

[king_wang.bbang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho [TEX]{a^2} + {b^2} = 1[/TEX], [TEX]c + d = 3[/TEX], [TEX]a,b,c,d \in R[/TEX]
c/m: [TEX]ac + bd + cd \leq \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{4}[/TEX]

2) c/m: [TEX]5 \leq \sqrt {{{\cos }^2}\alpha - 2\cos \alpha + 5} + \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + 4\cos \alpha + 8} \leq 2 + \sqrt {13} [/TEX]

các pro giải giúp mình nha, thanks

 

[asroma11235]

1) Cho [TEX]{a^2} + {b^2} = 1[/TEX], [TEX]c + d = 3[/TEX], [TEX]a,b,c,d \in R[/TEX]
c/m: [TEX]ac + bd + cd \leq \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{4}[/TEX]

Ta có [TEX]S=ac+bd+cd=ac+b(3-c)+c(3-c)=-c^2+(a-b+3)c+3b \leq \frac{(a-b+3)^2+12b}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow S \leq \frac{-(a+b)^2+6(a+b)+11}{4}[/TEX]
(Vì [TEX] 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=(a+b)^2-1[/TEX])
Xét hàm đặc trưng:
[TEX]f_{(t)}=-t^2+6t+11[/TEX] với [TEX]t \in [-\sqrt{2} ; \sqrt{2}][/TEX]
[TEX]\Rightarrow f'_{(t)}=-2t+3=0 \Leftrightarrow t= \frac{3}{2}[/TEX]
Lập bảng biến thiên, dễ dàng suy ra hàm đồng biến: [TEX]f_{(t)} \leq f_{(\sqrt{2})}=6\sqrt{2}+9[/TEX]
Ta có đpcm.
-Nếu bạn thấy không phù hợp thì ở đây có 1 lời giải của THCS
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1825466#post1825466

 

[king_wang.bbang]

Bạn nào giải hộ mình bài 2 với, cảm ơn nhiều!!!!

 

[asroma11235]

-Bất đẳng thức 2 này có vẻ không đúng. :-?

.

 

[hn3]

1) Cho [TEX]{a^2} + {b^2} = 1[/TEX], [TEX]c + d = 3[/TEX], [TEX]a,b,c,d \in R[/TEX]
c/m: [TEX]ac + bd + cd \leq \frac{{9 + 6\sqrt 2 }}{4}[/TEX]

2) c/m: [TEX]5 \leq \sqrt {{{\cos }^2}\alpha - 2\cos \alpha + 5} + \sqrt {{{\cos }^2}\alpha + 4\cos \alpha + 8} \leq 2 + \sqrt {13} [/TEX]

các pro giải giúp mình nha, thanks

Bài 2 có lẽ đề bài đúng rồi :-w

Đặt [TEX]n=cos \alpha[/TEX] , tính đạo hàm biểu thức , cho đạo hàm [TEX]=0[/TEX] , xét dấu . Nhưng thấy mỗi GTNN . Cũng lạ :-S Thấy biểu thức nhỏ nhất [TEX]=5[/TEX] khi [TEX]cos \alpha =\frac{-1}{2}[/TEX]

Sử dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski cho biểu thức (sau khi khai thác 2 biểu thức ở 2 căn) , thấy biểu thức lớn nhất [TEX]=\sqrt{34}[/TEX] khi [TEX]cosx=1[/TEX] .

Mà [TEX]2+\sqrt{13} < \sqrt{34}[/TEX] . Ý tưởng thế )

 

[asroma11235]

Bài 2 có lẽ đề bài đúng rồi :-w

Đặt [TEX]n=cos \alpha[/TEX] , tính đạo hàm biểu thức , cho đạo hàm [TEX]=0[/TEX] , xét dấu . Nhưng thấy mỗi GTNN . Cũng lạ :-S Thấy biểu thức nhỏ nhất [TEX]=5[/TEX] khi [TEX]cos \alpha =\frac{-1}{2}[/TEX]

Sử dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski cho biểu thức (sau khi khai thác 2 biểu thức ở 2 căn) , thấy biểu thức lớn nhất [TEX]=\sqrt{34}[/TEX] khi [TEX]cosx=1[/TEX] .

Mà [TEX]2+\sqrt{13} < \sqrt{34}[/TEX] . Ý tưởng thế )

Như thế thì đâu có đảm bảo được dấu bằng xảy ra, đây là 1 bất đẳng thức chặt mà :-?