Bài tập bất đẳng thức Cô si

[vuminhquan99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh các BDT sau:
Cho các biểu thức dương:
1/

2/

3/

 

[hien_vuthithanh]

2,

($a^3+b^3$).($\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$)\geq $(a+b)^2$
\Leftrightarrow $\dfrac{(a+b)^2.(a^2-ab+b^2)}{ab}$\geq $(a+b)^2$
\Leftrightarrow $\dfrac{a^2-ab+b^2}{ab}$\geq 1
\Leftrightarrow $a^2-ab+b^2 $\geq ab
\Leftrightarrow $(a-b)^2$ \geq 0 (luôn đúng)
\Rightarrow dpcm

 

[hien_vuthithanh]

3,

AD BDT Cosi
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} $\geq $\dfrac{2}{\sqrt{ab}}$
tt\Rightarrow $\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ \geq $\dfrac{2}{\sqrt{bc}}$
$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a} $\geq $\dfrac{2}{\sqrt{ac}}$
\Rightarrow $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$\geq $\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}$
\Rightarrow dpcm

 

[hien_vuthithanh]

1,

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}$\geq $\dfrac{9}{2.(a+b+c)}$
\Rightarrow $\dfrac{2}{a+b}$+$\dfrac{2}{b+c}$+$\dfrac{2}{a+c}$\geq $\dfrac{9}{a+b+c}$
\Rightarrow dpcm

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: $VT \ge \dfrac{2.9}{2(a+b+c)}=VP$

Bài 2:

Áp dụng BDT Holder và Cauchy-Schwarz:

$VT=(a^3+b^3)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) \ge \dfrac{(a+b)^3}{4}.\dfrac{4}{a+b}=VP$

Bài 3:

Áp dụng $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$

 

[vuminhquan99]

Bạn ơi mình giở toán lắm bạn cho mình biết BDT cauchy schwars va bdt holder duoc không!!

 

[huynhbachkhoa23]

BDT Cauchy-Schwarz:

$(a_n) \in \mathbb{R}; (b_{n})\in \mathbb{R}^{+}$

$\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+...\dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$

BDT Holder mình thường dùng, không phải Holder tổng quát: $a^n+b^n \ge \dfrac{(a+b)^n}{2^{n-1}}$ ($a,b \ge 0; n \ge 1$)