bài tập bất đẳng thức cauchy

[Hasuko Miso]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c=3. CMR: a/(b3+ab)+b/(c3+bc)+c/(a3+ac) lớn hơn hoặc bằng 3/2

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

[tex]\dfrac{a}{b^3+ab} \\=\dfrac{\dfrac{1}{b}(b^3+ab)-b^2}{b^3+ab} \\=\dfrac{1}{b}-\dfrac{b}{b^2+a} \\\geq \dfrac{1}{b}-\dfrac{b}{2b\sqrt{a}} \\\geq \dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{2\sqrt{a}} \\\geq \dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{4}(1+\dfrac{1}{a})=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{4a}-\dfrac{1}{4}.[/tex].
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có:
[tex]\sum \dfrac{a}{b^3+ab} \\\geq \dfrac{3}{4}(\sum \dfrac{1}{a})-\dfrac{3}{4} \\\geq \dfrac{3.9}{4(a+b+c)}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}[/tex].
Dấu '=' khi $a=b=c=1$..