Bài tập bất đẳng thức cauchy

S

siaky_kotoko

Last edited by a moderator:
V

vuive_yeudoi

Trước hết ta thấy
$$ \left(a+b \right) \left( b+c \right) \left(c+a \right)\\
=2abc+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 \\
=2abc + ab \left(a+b \right)+ bc \left( b+c \right) +ca \left( c+a \right) \\
=2abc +ab \left(a+b+c-c \right)+ bc \left( b+c+a-a \right) +ca \left( c+a+b-b \right) \\
=2abc+\left(a+b+c \right) \left( ab+bc+ca \right) -3abc \\
= \left(a+b+c \right) \left( ab+bc+ca \right) -abc$$
Dùng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương có
$$ \left(a+b+c \right) \left( ab+bc+ca \right) \ge 9abc $$
Như vậy
$$ \frac{9\left(a+b \right) \left( b+c \right) \left(c+a \right)}{8} -\left(a+b+c \right) \left( ab+bc+ca \right) \\
=\frac{\left(a+b+c \right) \left( ab+bc+ca \right) -9abc }{8} \ge 0 $$
Đó là điều cần chứng minh.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom