bài tập 1 điểm

[lamlopbs]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c \geq 0 và a+b+c=1.CMR 16abc \leq a+b////

 

[pe_lun_hp]

Từ giả thiết : $a+b+c = 1 \Rightarrow c = 1 - a - b$

Thay vào điều cần chứng minh:

$a + b \geq 16abc$

$\Rightarrow a + b \geq 16ab(1-a-b)$

$\Leftrightarrow 16a^2b + 16ab^2 - 16ab + a + b \geq 0$

$\Leftrightarrow b(16a^2 -8a +1) + a(16b^2 - 8b + 1) \geq 0$

$\Leftrightarrow b(4a -1)^2 + a(4b - 1)^2 \geq 0$ (đúng)

$\Rightarrow đpcm$

 

[harrypham]

Lời giải. Bất đẳng thức tương đương với việc chứng minh [TEX](a+b+c)^2(a+b) \ge 16abc[/TEX].
Áp dụng BĐT dạng [TEX](x+y)^2 \ge 4xy[/TEX] ta có [TEX][(a+b)+c]^2 \ge 4(a+b)c[/TEX].
Do đó [TEX](a+b+c)^2(a+b) \ge 4c(a+b)^2[/TEX].
Áp dụng lần nữa [TEX](a+b)^2 \ge 4ab[/TEX] nên [TEX]4c(a+b)^2 \ge 16abc[/TEX].
Vậy [TEX](a+b+c)^2(a+b) \ge 16abc[/TEX] hay [TEX]a+b \ge 16abc[/TEX].
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [TEX]c= \frac 12, a=b= \frac 14[/TEX]