Cho (Cm):[TEX][SIZE=4]y=(m+1)x^3 - (2m+1)x - m + 1[/SIZE][/TEX]
CMR: (Cm) luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng , và với giá trị nào của m thì (Cm) có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua 3 điểm đó
gọi điểm cố định của (Cm) có toạ độ (x,y)
khi đó thảo mãn pt
[TEX]y=(m+1)x^3 - (2m+1)x - m + 1[/TEX]
[TEX]<=>m(x^3-2x-1)+x^3-x+1-y=0[/TEX]
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^3-2x-1=0 (1)& & \\ x^3-x+1-y=0 & & \end{matrix}\right.[/TEX]
pt(1) có 3 ng x=-1 ;[TEX]x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/TEX];[TEX]x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/TEX]
vậy (Cm)luôn đi qua 3 điểm cố định [TEX]A(-1;1) [/TEX];[TEX]B(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2};x=\frac{5+\sqrt{5}}{2})[/TEX];[TEX]C(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2};x=\frac{5-\sqrt{5}}{2})[/TEX];
ta có [TEX]\vec{BC}=(-\sqrt{5};-\sqrt{5})[/TEX]
dt đi qua 3 điểm A,B,C có hệ số góc là k và VTCP của dt là [TEX]\vec{n}=(-\sqrt{5};-\sqrt{5})[/TEX]
pt đi qua A,B,C là [TEX]\sqrt{5}(x+1)-\sqrt{5}(y-1)=0[/TEX]
<=>[TEX]y=x+2 (d)[/TEX]
hệ số góc của dt đi qua 3 điểm A,B,C là K1=1
tiếp tuyến của (Cm) vuông góc với dt (d) <=> tieeps tuyến có hệ số góc K2=-1
[TEX]y'=3(m+1)x^2-2m-2[/TEX]
gọi tiếp điểm của tiếp tuyến là M(X;y)
ta có [TEX]y'(x)=3(M+1)x^2-2m-1[/TEX]
[TEX]y'(x)=-1<=>3(m+1)x^2-2m-1=-1[/TEX]
[TEX]x^2=\frac{2m}{3(m+1)}(!)[/TEX]
để pt (!)có nghiệm <=>[TEX]\frac{2m}{3(m+1)}\succ 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m\prec -1 or m\succ 0[/TEX]
vậy