Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM=CN:
a)Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.
b) Kẻ BH vuông góc với AM ( H thuộc AM), kẻ CK vuông góc với AN (K thuộc AN). Chứng minh rằng BH=CK
c) Chứng minh rằng AH=AK
d)Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam Giác OBC là tam giác gì? vì sao?
e)Khi góc BAC=60 độ và BM=CN=BC,hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạng của tam giác OBC
>-
>-
a) Cm: [TEX]\triangle AMN[/TEX] cân
Có: [TEX]\hat{ABC} + \hat{ABM} = 180^o[/TEX] (2 góc kề bù)
[TEX]\hat{ACB} + \hat{ACN} = 180^o[/TEX] (2 góc kề bù)
mà [TEX]\hat{ABC} = \hat{ACB}[/TEX] ([TEX]\triangle ABC[/TEX] cân ở A)
nên [TEX]\hat{ABM} = \hat{ACN}[/TEX]
Xét [TEX]\triangle AMB[/TEX] và [TEX]\triangle ANC[/TEX] có:
MB = CN (gt)
[TEX]\hat{ABM} = \hat{ACN}[/TEX] (cmt)
AB = AC ([TEX]\triangle ABC [/TEX]cân)
Do đó: [TEX]\triangle AMB = \triangle ANC[/TEX] [TEX](c.g.c)[/TEX]
\Rightarrow AM = AN (2 cạnh tương ứng)
\Rightarrow [TEX]\triangle AMN [/TEX]cân ở A
b) Cm: BH = CK:
Xét [TEX]\triangle HMB[/TEX] và [TEX]\triangle KNC [/TEX]có:
[TEX]\hat{MHB} = \hat{NKC} (=90^o)[/TEX]
[TEX]\hat{HMB} = \hat{KNC}[/TEX] (Do [TEX]\triangle AMN[/TEX] cân)
MB = CN (cmt)
\Rightarrow [TEX]\triangle HMB = \triangle KNC[/TEX] (ch-gn)
\Rightarrow BH = CK (2 cạnh tương ứng)
c) Cm: AH = AK:
Có: AM - HM = AH
AN - KN = AK
mà AM = AN (Do [TEX]\triangle AMN[/TEX] cân) ; HM = KN (do [TEX]\triangle HMB = \triangle KNC[/TEX])
nên AH = AK
d)[TEX]\triangle OBC[/TEX] cân:
Có: [TEX]\hat{HBM} = \hat{OBC}[/TEX] (2 góc đối đỉnh)
[TEX]\hat{KCN} = \hat{OCB}[/TEX] (2 góc đối đỉnh)
mà [TEX]\hat{HBM} = \hat{KCN}[/TEX] (Do [TEX]\triangle HMB = \triangle KNC[/TEX])
nên [TEX]\hat{OBC} = \hat{OCB}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\triangle OBC[/TEX] cân ở O
e) Tính số đo các góc trong [TEX]\triangle AMN[/TEX] và định dạng [TEX]\triangle OBC[/TEX]:
Xét [TEX]\triangle ABC[/TEX] cân ở A có:
[TEX] \hat{ABC} = \frac{180^o - \hat{BAC}}{2} = \frac{180^o - 60^o}{2} = 60^o[/TEX]
Có: [TEX]\hat{BAC} = 60^o[/TEX]
mà [TEX]\triangle ABC[/TEX] cân ở A
nên [TEX]\triangle ABC[/TEX] đều
\Rightarrow BA = BC (các cạnh bằng nhau trong tam giác đều)
mà MB = MC (gt)
nên BA = MB
\Rightarrow [TEX]\triangle MBA[/TEX] cân ở B
\Rightarrow [TEX]\hat{AMB} + \hat{MAB} = \hat{ABC}[/TEX] (tính chất góc ngoài của tam giác)
[TEX]\hat{AMB} + \hat{MAB} = 60^o[/TEX]
mà [TEX]\hat{MAB} = \hat{AMB}[/TEX] ([TEX]\triangle AMB[/TEX] cân ở B)
nên [TEX]\hat{MAB} = \hat{AMB} = \frac{60^o}{2} = 30^o[/TEX]
Do [TEX]\triangle AMB = \triangle ANC[/TEX] (cmt)
nên [TEX]\hat{AMN} = \hat{ANB} = 30^o[/TEX]
Có: [TEX]\hat{MAB} + \hat{BAC} + \hat{CAN} = \hat{MAN}[/TEX]
[TEX]30^o + 60^o + 30^o = \hat {MAN} = 120^o[/TEX]
Xét [TEX]\triangle HMB[/TEX] có:
[TEX]\hat{HMB} + \hat{HBM} = 90^o[/TEX] (2 góc nhọn phụ nhau)
[TEX]\hat{HBM} = 90^o - 30^o = 60^o [/TEX]
mà [TEX]\hat{HBM} = \hat{OBC}[/TEX] (cmt)
nên [TEX]\hat{HBM} = \ hat{OBC} = 60^o[/TEX]
Xét [TEX]\triangle OBC[/TEX] có:
[TEX]\triangle OBC[/TEX] cân ở O
[TEX]\hat{OBC} = 60^o[/TEX]
Vậy [TEX]\triangle OBC[/TEX] đều
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn