Bài này giải thế nào?(2)

[tranduytrinh2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Chứng minh rằng: luôn tìm được số tự nhiên k sao cho (1983^k)-1 chia hết cho 105.
2.Chứng minh rằng:
a) \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}<\frac{1}{3}
b)\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+....+\frac{99}{3^99}-\frac{100}{3^100}<\frac{3}{16}
Thanks!:khi (4)::Mloa_loa:

 

[harrypham]

1. Chỉ có duy nhất đáp án [TEX]k=0[/TEX] là thoả mãn.
Với [TEX]k>0[/TEX], ta có [TEX]1983 \ \vdots 3 \Rightarrow 1983^k-1[/TEX] chia 3 dư 2, nên không chia hết cho 105 (vì [TEX]105=3.35[/TEX]).

2. a) [TEX]A= \frac{1}{2}- \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{2^3}- \frac{1}{2^4}+ \frac{1}{2^5}- \frac{1}{2^6}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2A = 1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}- \frac{1}{2^3}+ \frac{1}{2^4}- \frac{1}{2^5}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2A+A = 1- \frac{1}{2^6} <1 \Rightarrow 3A<1 \Rightarrow A< \frac{1}{3}[/TEX] (đpcm)

b) [TEX]B = \frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+....+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}<\frac{3}{16}[/TEX]

Ta có [TEX]3B = 1- \frac{2}{3}+ \frac{3}{3^2}- \frac{4}{3^3}+...+ \frac{99}{3^{98}}- \frac{100}{3^{99}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4B = 1- \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2}- \frac{1}{3^3}+...+ \frac{1}{3^{98}} - \frac{1}{3^{99}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3.4B = 3- 1+ \frac{1}{3} - \frac{3^2}+...+ \frac{1}{3^{97}}- \frac{1}{3^{98}} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 12B+4B = 3- \frac{1}{3^{99}}< 3 \Rightarrow 16B<3 \Rightarrow B< \frac{3}{16}[/TEX]. (đpcm)