bài này dành cho những pro làm nè

[toxic123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a;b;c là 3 số thực dương và abc [TEX]\geq[/TEX] 1 C/m
[TEX]\frac{1}{a^5 + b^2 + c^2} + \frac{1}{a^2 + b^5 + c^2} + \frac{1}{a^2 + b^2 + c^5}[/TEX] [TEX]\leq \frac{3}{a^2 + b^2 + c^2}[/TEX]

 

[nerversaynever]

Cho a;b;c là 3 số thực dương và abc [TEX]\geq[/TEX] 1 C/m
[TEX]\frac{1}{a^5 + b^2 + c^2} + \frac{1}{a^2 + b^5 + c^2} + \frac{1}{a^2 + b^2 + c^5}[/TEX] [TEX]\leq \frac{3}{a^2 + b^2 + c^2}[/TEX]

[TEX]\begin{array}{l} \frac{1}{{a^5 + b^2 + c^2 }} \le \frac{{\left( {\frac{1}{a} + b^2 + c^2 } \right)}}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 }} \\ = > VT \le \frac{{\sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } }}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 }} \\ \frac{{\sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } }}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 }} \le \frac{3}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)}} \Leftrightarrow \sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } \le 3\sum {a^2 } \\ \sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } \le \sum {ab} + 2\sum {a^2 } \le 3\sum {a^2 } \\ \end{array}[/TEX]

 

[toxic123]

Ê anh bạn! giải chi tiết hơn tí cái đoạn đầu để anh em hiểu cho thấu đáo

 

[bboy114crew]

Đoạn đầu dùng cauchy-chwarz !
.........................................................

 

[pigletu]

[TEX]\begin{array}{l} \frac{1}{{a^5 + b^2 + c^2 }} \le \frac{{\left( {\frac{1}{a} + b^2 + c^2 } \right)}}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 }} \\ = > VT \le \frac{{\sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } }}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 }} \\ \frac{{\sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } }}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 }} \le \frac{3}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)}} \Leftrightarrow \sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } \le 3\sum {a^2 } \\ \sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } \le \sum {ab} + 2\sum {a^2 } \le 3\sum {a^2 } \\ \end{array}[/TEX]

Lớp 9 chưa dùng

đâu a
-------------------------------

 

[01263812493]

[TEX]\begin{array}{l} \frac{1}{{a^5 + b^2 + c^2 }} \le \frac{{\left( {\frac{1}{a} + b^2 + c^2 } \right)}}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 }} \\ = > VT \le \frac{{\sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } }}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 }} \\ \frac{{\sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } }}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)^2 }} \le \frac{3}{{\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)}} \Leftrightarrow \sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } \le 3\sum {a^2 } \\ \sum {\frac{1}{a} + 2\sum {a^2 } } \le \sum {ab} + 2\sum {a^2 } \le 3\sum {a^2 } \\ \end{array}[/TEX]

Ê anh bạn! giải chi tiết hơn tí cái đoạn đầu để anh em hiểu cho thấu đáo

Cái đầu dùng Bunhiacopxki:
[TEX]\blue ( \frac{1}{a} +b^2 +c^2)(a^5+b^2 + c^2) \geq (a^2+b^2+c^2)^2[/TEX]
[TEX]\blue \rightarrow \frac{1}{a^5+b^2+c^2} \leq \frac{ \frac{1}{a} +b^2 +c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}[/TEX]
Tương tự với các cái còn lại:
[TEX]\blue VT \leq \frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}+ \frac{\frac{1}{b}+a^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}+\frac{\frac{1}{c}+a^2+b^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2(a^2+b^2+c^2)}{(a^2+b^2+c^2)^2}[/TEX]
Cần C/m:
[TEX]\blue \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+2(a^2+b^2+c^2)}{(a^2+b^2+c^2)^2} \leq \frac{3}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
Nhân chéo chứng minh như nerversaynerver

Chú thích kí hiệu:
[TEX]\blue \sum \frac{1}{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
[TEX]\blue \sum a^2=a^2+b^2+c^2[/TEX]
[TEX]\blue \sum ab=ab+bc+ac[/TEX]