Phân tích đa thức thành nhân tử
$B=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2−x^4−y^4−z^4$
nếu x,y,z là 3 cạnh của 1 tam giác thi CMR B>0
Ta có: $B = 2{x^2}{y^2} + 2{y^2}{z^2} + 2{x^2}{z^2} - {x^4} - {y^4} - {z^4}$
$ = 4{x^2}{y^2} - \left( {{x^4} + {y^4} + {z^4} + 2{x^2}{y^2} - 2{y^2}{z^2} - 2{x^2}{z^2}} \right)$
$ = {\left( {2xy} \right)^2} - {\left( {{x^2} + {y^2} - {z^2}} \right)^2}$
$ = \left( {2xy - {x^2} - {y^2} + {z^2}} \right)\left( {2xy + {x^2} + {y^2} - {z^2}} \right)$
$ = \left[ {{z^2} - {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - {z^2}} \right]$
$ = \left( {z - x + y} \right)\left( {z + x - y} \right)\left( {x + y - z} \right)\left( {x + y + z} \right)$
Vì $x,y,z$ là 3 cạnh của tam giác nên $y + z > x;x + z > y;x + y > z;x + y + z > 0$
\Rightarrow $B = \left( {z - x + y} \right)\left( {z + x - y} \right)\left( {x + y - z} \right)\left( {x + y + z} \right)$ >0
\Rightarrow $B>0$