bai hinh kho

[congchuabuongbinhht]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là trung điểm BC. Lấy 1 điểm D bất kì trên BC. H và I thứ tự là hìn chiếu của B và C xuống AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh:
a, HB=AI
b, BH bình + CI bình có giá trị không đổi
c, DN vuông góc với AC
d, IM là phân giác góc HIC

 

[hiensau99]

a, Xét $ \triangle ABH $ và $ \triangle CAI $ ta có:
$AB=AC$ (Vì $\triangle ABC $ vuông cân ở A)
$\widehat{C_1}=\widehat{A_1} $ (cùng phụ với $\widehat{IAC}$)
$\widehat{AHB}=\widehat{AIC}= 90^o $
$ \Longrightarrow \triangle ABH = \triangle CAI \ (ch-gn)$
$\Longrightarrow BH=AI$ (2 cạnh tg ứng) (đpcm)

b, ta có: $ \triangle AIC$ vuông ở I nên theo định lí Pytago ta có: $IA^2+IC^2=AC^2$.
Hay: $BH^2+CI^2=AC^2$. mà AC có giá trị ko đổi $\Longrightarrow AC^2 $ có giá trị ko đổi
Vậy $BH^2+CI^2$ có giá trị ko đổi

c, + $ \triangle ABC$ vuông cân ở A có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Hay $ \triangle ADC$ có AM là đường cao.
Như vậy: $ \triangle ADC$ có CI và AM là 2 đường cao giao nhau tại trực tâm N.
Vậy DN là đường cao của $ \triangle ADC \Longrightarrow DN \bot AC$ (đpcm)

d,+ $ \triangle AMD$ vuông ở M nên: $\widehat{A_2}+\widehat{D_1}=90^o$. (1)

+ $ \triangle BDH$ vuông ở H nên: $\widehat{B_1}+\widehat{D_2}=90^o$. (2)

+ Ta có: $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ (đối đỉnh) (3)

+ từ (1);(2);(3) ta có: $\widehat{A_2}=\widehat{B_1}$

+ $ \triangle ABC$ vuông cân ở A $ \Longrightarrow \widehat{ABM}=45^o$

+ $ \triangle AMB$ vuông ở M có: $ \widehat{ABM}=45^o \Longrightarrow \triangle AMB $ vuông cân ở M

+ Xét $\triangle IAM$ và $\triangle HBM$ ta có:
AM=MB ($\triangle AMB $ vuông cân ở M)
$\widehat{A_2}=\widehat{B_1}$ (CM trên)
BH=AI (Theo phần a)
$ \Longrightarrow \triangle IAM= \triangle HBM$ (c.g.c)
$ \Longrightarrow IM= \triangle HM$ (2 cạnh tương ứng) (*) và $\widehat{IMA}=\widehat{HMB}$ (2 góc tương ứng)

+ Ta có: $\widehat{IMA}+\widehat{IMB}=\widehat{AMB}$. Hay: $\widehat{HMB}+\widehat{IMB}=90^o=\widehat{HMI}$ (*)(*)

+ Từ (*)(*) và (*) $ \Longrightarrow \triangle IMH$ vuông cân ở M $ \Longrightarrow \widehat{I_1}=45^o$.

+ Ta có: $\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=\widehat{HIC}$. Hay: $45^o+\widehat{I_2}=90^o \Longrightarrow \widehat{I_2}=45^o=\widehat{I_1}$
$ \Longrightarrow $ IM là tia phân giác $\widehat{HIC}$ (đpcm)