Gọi
$O_1A=O_1D$
$O_2A=O_2C$
$O_3D=O_3C$
Xét $\bigtriangleup ADC$ có:
$O_1A=O_1D$
$O_2A=O_2C$
$O_1O_2 // CD$
$O_1O_2= \frac{CD}{2}$ (1)
Chứng minh tương tự ta được
$O_1U//MD$
$O_1U=\frac{MD}{2}$ (2)
$O_2O_3// AD$
$O_2O_3=\frac{AD}{2}$ (3)
$O_3T//DK$
$O_3T=\frac{DK}{2}$ (4)
mà $AD=MD$ (5)
$CD=DK$ (6)
Từ (1), (4), (6) \Rightarrow $O_1O_2=O_3T$ ( * )
Từ (2), (3), (5) \Rightarrow $O_1U=O_2O_3$ (**)
Do $O_1O_2//CD$ \Rightarrow $\widehat{AO_1O_2}= \widehat{ADC}$ (7)
Do $O_2O_3//AD$ \Rightarrow $\widehat{O_2O_3C}=\widehat{ADC}$ (8)
Từ (7), (8) \Rightarrow $\widehat{AO_1O_2}=\widehat{O_2O_3C}$ (9)
Xét $\bigtriangleup UDA$ có $AO_1$ là đường trung tuyến
\Rightarrow $\widehat{UO_1A}=90^o$ (10)
Tương tự ta có: $\widehat{TO_3C}=90^o$ (11)
Từ (9), (10), (11) \Rightarrow $\widehat{UO_1O_2}=\widehat{O_2O_3T}$ (***)
Từ ( * ) , (**), (***) \Rightarrow $\bigtriangleup O_1O_2U=\bigtriangleup O_3TO_2$. (c.g.c)
\Rightarrow $\widehat{UO_2O_1}=\widehat{O_2TO_3}$
$UO_2=O_2T$
Ta có: $\widehat{O_1O_2O_3}=\widehat{O_2O_3C}$ ( so le trong)
$\widehat{UO_2T}=\widehat{UO_2O_1}+\widehat{O_1O_2O_3}+\widehat{O_3O_2T}$
=$\widehat{O_2TO_3}+\widehat{O_2O_3C}+\widehat{O_3O_2T}$
$= 180^o- \widehat{TO_3C}=90^o$
Chứng minh tương tự ta được
$O_2P$ vuông góc $O_2Q$
$O_2P=O_2Q$
Xét $\bigtriangleup PO_2T$ và $\bigtriangleup QO_2U$ có:
$O_2P=O_2Q$
$UO_2=O_2T$
$\widehat{PO_2T}=\widehat{QO_2U}$
( vì $\widehat {PO_2T}$ = $\widehat{PO_2U}+\widehat{UO_2T}$
= $\widehat{PO_2U}+90^o$
$\widehat{QO_2U}=\widehat{PO_2U}+\widehat{PO_2Q}$
=$\widehat{PO_2U}+90^o$ )
\Rightarrow $\bigtriangleup PO_2T= \bigtriangleup QO_2U$ (c.g.c)
Gọi $O_4$ là gia của PT và QU. $O_5$ là giao của $PO_2$ và UQ.
$\bigtriangleup O_4BP$ có:
$\widehat{PO_4Q}=180^o-$ $(\widehat{O_4PO_5}+\widehat{PO_5O_4})$
=$180^o-(\widehat{O_5QO_2}+\widehat{O_2O_5Q})$
=$\widehat{O_5O_2Q}=90^o$
\Rightarrow PT vuông góc QU.
p/s: 1 số chỗ mình làm hơi tắt bạn tự hiểu nhé!!!
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