bài hình khó tham khảo

[nemothanhphuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong một mặt phẳng cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R và một điểm A cố định trong (O), A khác O. MN là một đường kính di động không đi qua A của (O). Các đường thẳng AM, AN cắt (O) lần lượt tại P,Q. Đường thẳng OA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại B và cắt đường thẳng PQ tại C.
a) Hãy chỉ ra 2 tam giác đồng dạng để từ đó suy ra OA.OB = OM.ON và điểm B là điểm cố định. Giả sử OA = R/căn 2011 , hãy tính theo R độ dài của đoạn thẳng AB.
b) Chứng minh tứ giác BMCP nội tiếp được.
c) Chứng minh điểm C cố định và đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ đi qua một điểm cố định khác điểm A.

 

[conami]

Trong một mặt phẳng cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R và một điểm A cố định trong (O), A khác O. MN là một đường kính di động không đi qua A của (O). Các đường thẳng AM, AN cắt (O) lần lượt tại P,Q. Đường thẳng OA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại B và cắt đường thẳng PQ tại C.
a) Hãy chỉ ra 2 tam giác đồng dạng để từ đó suy ra OA.OB = OM.ON và điểm B là điểm cố định. Giả sử OA = R/căn 2011 , hãy tính theo R độ dài của đoạn thẳng AB.
b) Chứng minh tứ giác BMCP nội tiếp được.
c) Chứng minh điểm C cố định và đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ đi qua một điểm cố định khác điểm A.

Bài này sẽ rất đơn giản nếu bạn biết khái niệm phương tích trong đường tròn.
Với [TEX]1[/TEX] điểm [TEX]A[/TEX] nằm trong đường tròn và [TEX]2[/TEX] dây cung [TEX]BC,DE[/TEX] bất kì đi qua [TEX]A[/TEX] thì ta có: [TEX]AB.AC=AD.AE=R^{2}-OA^{2}[/TEX]. (1)
Với [TEX]1[/TEX] điểm [TEX]A[/TEX] nằm ngoài đường tròn và [TEX]2[/TEX] cát tuyến [TEX]ABC, ADE[/TEX] bất kì thì ta có: [TEX]AB.AC=AD.AE=OA^{2}-R^{2}[/TEX]. (2)
Chứng minh 2 kết quả trên rất đơn giản bằng cách dùng tam giác đồng dạng.
Áp dụng kết quả (1) vào bài này ta giải quyết nhanh chóng ý a.
b) [TEX]\widehat{MPC}=\widehat{MNA}=\widehat{MBC} \Rightarrow[/TEX] tứ giác [TEX]BMCQ[/TEX] nội tiếp.
c) Áp dụng kết quả [TEX]1 [/TEX]chứng minh được [TEX]AC.AB=AM.AP=R^{2}-AO^{2}[/TEX] nên [TEX]C[/TEX] cố định do [TEX]A,B[/TEX] cũng cố định.
Gọi [TEX]AO[/TEX] cắt[TEX] (APQ)[/TEX] tại [TEX]L [/TEX]thì[TEX] L[/TEX] sẽ là điểm cố định.
Thật vậy
Áp dụng kết quả 1 ta có:
[TEX]CA.CL=CP.CQ=R^{2}-CO^{2}[/TEX] cố định nên [TEX]L[/TEX] cố định