Bài hay đây!

[coganghoctapthatgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Có bài này hay các bạn giải coi!
Cho các số thưc dương a,b sao cho:a+b=4ab CMR:
[TEX]\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

 

[haibara4869]

Dùng BĐT Cauchy nha
Ta có:
[TEX] S = \frac{a}{4b^2+1} + \frac{b}{4a^2+1} [/TEX]
\Rightarrow [TEX]S = a. \frac{1}{4b^2+1} + b. \frac{1}{4a^2+1}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]S = a. (1 - \frac{4b^2}{4b^2+1}) + b. (1 - \frac{4a^2}{4a^2+1})[/TEX]
Ta có: [TEX]4a^2+1 \geq 4a[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{4a^2+1} \leq \frac{1}{4a}[/TEX]
\Rightarrow [TEX] - \frac{4a^2}{4a^2+1} \geq - \frac{4a^2}{4a} [/TEX]
\Rightarrow [TEX] \frac{b}{4a^2+1} \geq a^2 [/TEX]
Tương tự [TEX] \frac{a}{4b^2+1} \geq b^2[/TEX]
Suy ra:
[TEX]S \geq a^2 + b^2[/TEX]
Lại có: [TEX](a + b)^2 = 1[/TEX] Mà [TEX]ab \leq \frac{1}{4}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]DPCM[/TEX]
Dấu "[TEX]=[/TEX]" xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a = b = \frac{1}{2}[/TEX]

P.S: Chưa thử lại đâu coi cho cái nha

 

[coganghoctapthatgioi]

Dùng BĐT Cauchy nha
Ta có:
$S = /frac{a}{4b^2+1} + /frac{b}{4a^2+1}$
\Rightarrow [TEX]S = a. /frac{1}{4b^2+1} + b. /frac{1}{4a^2+1}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]S = a. (1 - /frac{4b^2}{4b^2+1} + b. /frac{4b^2}{4a^2+1}[/TEX]
Ta có: [TEX]4a^2+1 \geq 4a[/TEX]
\Rightarrow [TEX]/frac{1}{4a^2+1} \leq /frac{1}{4a}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]- /frac{4a^2}{4a^2+1} \geq - /frac{4a^2}{4a}[/TEX]
\Rightarrow [TEX] /frac{b}{4a^2+1} \geq a^2[/TEX]
Tương tự [TEX] /frac{a}{4b^2+1} \geq b^2[/TEX]
Suy ra:
[TEX]S \geq a^2 + b^2[/TEX]
Lại có: [TEX](a + b)^2 = 1[/TEX] Mà [TEX]ab \leq /frac{1}{4}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2 + b^2 \geq /frac{1}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]DPCM[/TEX]
Dấu "[TEX]=[/TEX]" xảy ra \Leftrightarrow [TEX]a = b = /frac{1}{2}[/TEX]

Chưa thử lại đâu coi cho cái nha

(xem lại đề đi mình ghi sai đề mà ghi hộ bài 2 cô thảo tí nha)

 

[vansang02121998]

Bài của bạn bị lỗi tex rồi, mà cách của bạn tui đọc qua vẫn chưa hiểu lắm. Đây là cách của tui.

Chứng minh bất đẳng thức

$\frac{m^2}{x} + \frac{n^2}{y} \geq \frac{(m+n)^2}{x+y}$ bằng chứng minh tương đương.

Áp dụng

$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1} = \frac{a^2}{4ab^2+a} + \frac{b^2}{4a^2+b} \geq \frac{(a+b)^2}{4a^2b+4ab^2+a+b}= \frac{1}{4ab(a+b)+a+b} = \frac{1}{4ab+1} \geq \frac{1}{(a+b)^2+1} = \frac{1}{2}$

 

[coganghoctapthatgioi]

Bài của bạn bị lỗi tex rồi, mà cách của bạn tui đọc qua vẫn chưa hiểu lắm. Đây là cách của tui.

Chứng minh bất đẳng thức

$\frac{m^2}{x} + \frac{n^2}{y} \geq \frac{(m+n)^2}{x+y}$ bằng chứng minh tương đương.

Áp dụng

$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1} = \frac{a^2}{4ab^2+a} + \frac{b^2}{4a^2+b} \geq \frac{(a+b)^2}{4a^2b+4ab^2+a+b}= \frac{1}{4ab(a+b)+a+b} = \frac{1}{4ab+1} \geq \frac{1}{(a+b)^2+1} = \frac{1}{2}$

Xem lại đề đi bạn a+b=4ab chứ ko phải a+b=1
Cách của tui nè
Ta có:S=[TEX]\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}[/TEX]
Lại có:[TEX]\frac{a}{4b^2+1}=a(1-\frac{4b^2}{4b^2+1})[/TEX]\geq [TEX]a(1-\frac{4b^2}{4b})[/TEX]= a-ab(1)
Tuong tự:[TEX]\frac{b}{4a^2+1}[/TEX]=b-ab(2)
Từ(1) và (2): S\geq a+b-2ab= a+b-0,5(a+b) =0,5 ab (*)
Lại có: a+b=4ab \Rightarrow[TEX]\frac{a+b}{4ab}=1[/TEX]\Rightarrow [TEX]\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}=1[/TEX]
Mà: [TEX]\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}=1[/TEX] \geq [TEX]\frac{4}{4a+4b}=\frac{1}{a+b}[/TEX]
Do 1\geq [TEX]\frac{1}{a+b}[/TEX] \Rightarrow a+b\geq1 (**)
Từ(*) và (**) Ta có:S\geq 0,5ab \geq 0,5
Mà bất đẳng thức bạn áp dụng là bất đẳng thức j vậy! Bạn cố thể nói cho minh đc ko