bài cực trị này khó quá

[james_bond_danny47]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho hình chữ nhật ABCD có BC=1, AB=3. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho 0.2<AN<1. Đường trung trực của DN cắt AD,DC tại E,F.
CHỨng minh:
S EFD \geq [TEX]\frac{2\sqrt{3}}{9}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

cho hình chữ nhật ABCD có BC=1, AB=3. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho 0.2<AN<1. Đường trung trực của DN cắt AD,DC tại E,F.
CHỨng minh:
S EFD \geq [TEX]\frac{2\sqrt{3}}{9}[/TEX]

Đặt [TEX]\widehat{ADN}=\widehat{EFD}=\alpha[/TEX]. Gọi M là gđ của DN và EF
[TEX]MD=\frac{1}{2}ND=\frac{1}{2}.\frac{AD}{cos\alpha}=\frac{1}{2cos \alpha}[/TEX]
[TEX]EF=ME+MF=MD tg \alpha+MD cotg \alpha=MD( tg \alpha +cotg \alpha)= \frac{1}{2 sin \alpha cos^2 \alpha}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow S_{EFD}=\frac{1}{2}EF.MD= \frac{1}{8 sin \alpha cos^3 \alpha}[/TEX]

...................................................................................................

Đặt [TEX]S_{EFD}=S(\alpha) \Rightarrow \alpha \in (0, \frac{\pi}{4})[/TEX]
Ta thấy [TEX]S(\alpha)>0 \forall \alpha \in (0, \frac{\pi}{4}[/TEX] và [TEX]S(\alpha)[/TEX] nhỏ nhất khi [TEX]f(\alpha)=sin \alpha cos^3 \alpha[/TEX] lớn nhất
Xét hàm số [TEX]f(\alpha)=sin \alpha cos^3 \alpha[/TEX]
[TEX]f'(\alpha)=sin \alpha cos^4 \alpha-3sin^2 \alpha cos^2 \alpha[/TEX]
và [TEX]f'(\alpha)=0[/TEX]khi [TEX]\alpha=\frac{\pi}{6}[/TEX]
Ta thấy [TEX]f'(\alpha)>0[/TEX] với [TEX]\0< \alpha < \frac{\pi}{6}[/TEX], [TEX]f'(\alpha)=0[/TEX] với [TEX]\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{\pi}{4} [/TEX]
Vậy [TEX]f(\alpha)_ {Max}= \frac{3\sqrt{3}}{16}[/TEX] khi [TEX]\alpha=\frac{\pi}{6}[/TEX]
Do đó [TEX]S_{Min}= \frac{2\sqrt{3}}{9}[/TEX]