Toán Bài BĐT Khó

[thangthanbattu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0. CMR
[TEX]\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2{a}^2+(b+c)^{2}} \leq 8[/TEX]
Mong mng giúp đỡ

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Cho a,b,c >0. CMR
[TEX]\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2{a}^2+(b+c)^{2}} \leq 8[/TEX]
Mong mng giúp đỡ

Kĩ thuật chuẩn hóa:
Chuẩn hóa :$a+b+c=3$.Khi đó:
[tex]\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} \\=\dfrac{(a+3)^2}{2a^2+(3-a)^2}[/tex].
Bây giờ ta sẽ chứng minh bđt phụ:
[tex]\dfrac{(a+3)^2}{3(a^2-2a+3)}\leq \dfrac{4a}{3}+\dfrac{4}{3} \\\Rightarrow \dfrac{(a-1)^2(-4a-3)}{3(a^2-2a+3)} \leq 0[/tex].
Điều này hiển nhiên đúng với $0<a<3$.
Áp dụng bđt phụ trên cộng vế theo vế ta sẽ được dpcm.
Dấu '=' khi $a=b=c$.
P/s:a,b,c ở đây có nghĩa là ẩn phụ thôi nhé.Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=1 nhưng do chuẩn hóa nên là a=b=c