Thật tình là tôi không muốn giải ra số [TEX]12[/TEX] vì đẳng thức không thể xảy ra , nhưng nếu bạn muốn giải thì tôi có thể giải rật nhẹ và đơn giải
Nếu [TEX]a_1,a_2,....,a_k\in [m;n]m>0[/TEX] Thì [TEX]k^2\le A=\sum_{i=1}^k a_i.\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}\le \frac{k^2(m+n)^2}{4mn}[/TEX]
[TEX](*)[/TEX]Thật vậy theo [TEX]AM-GM[/TEX] cho [TEX]k[/TEX] số dương ta được .
[TEX]\sum_{i=1}^k a_i\ge k\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}a_i}[/TEX]
[TEX]\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}\ge k\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}\frac{1}{a_i}}[/TEX]
Nhân vế theo vế ta được
[TEX]\righ A\ge k^2(1)[/TEX].
[TEX](*)[/TEX] Xét hàm số :
[TEX]f(x)=x^2-(m+n)x+mn\le 0\foral x\in[m;n][/TEX] [TEX]\righ x+\frac{mn}{x}\le (m+n)[/TEX]
[TEX]\left{a_1+\frac{mn}{a_1}\le (m+n)\\......................\\ a_k+ \frac{mn}{a_k} \le (m+n)[/TEX]
Cộng vế theo vế ta được và áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta được . .
[TEX]\righ k(m+n)\ge \sum_{i=1}^k a_i+\sum_{i=1}^k mn\frac{1}{a_i}\ge 2\sqrt[2]{mn.A}[/TEX]
[TEX]\righ A\le\frac{k^2(m+n)^2}{4mn}(2)[/TEX]
Từ [TEX](1)&(2)[/TEX] Ta được bổ đề chứng minh xong .
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
