bài bất đẳng thức trong toán học tuổi trẻ

[dreaminmyheart]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y là các số dương thoả mãn 1/x +1/y <=2.tìm min
P=căn(x^6+3* y^4) +căn( y^6+3* x^4)
và giải như sau:
X+y>=4/(1/x+1/y) =2
P=căn(x^6+3* y^4) +căn( y^6+3* x^4)
>=căn[ ( x^3+y^3)^2+ (căn3 *y^2+ căn3* x^2)^2] (****)
=........ sau ra P>=4
cho mình hỏi ở bước (****) là sử dụng bất đẳng thức gì vậy? mình k hiểu chỗ đó

 

[jet_nguyen]

Chỗ đó là sử dụng BDT Mincopxki hoặc bạn dùng BDT Vecto, BDT tam giác mở rộng thì đều chứng minh được rằng:
$\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2}$ \geq $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

 

[truongduong9083]

mình thử xem nhé

Trước tiên bạn Chứng minh bổ đề:
[tex] \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}[/tex]
Bạn chứng minh bất đẳng thức này bằng bình phương hai vế đưa về hằng đẳng thức là được
Theo giả thiết: [tex] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq2[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{xy}}\leq2[/tex] (Sử dụng bđt cô si)
[tex] \Leftrightarrow \ xy\geq1[/tex]
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: [tex] P\geq \sqrt{(x^3+y^3)^2+[\sqrt{3}(x^2+y^2)]^2}[/tex]
Do [tex] x^3+y^3\geq 2sqrt{x^3y^3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^3+y^3\geq 2 ( xy\geq1 )[/tex]
tương tự [tex] x^2+y^2 \geq 2xy [/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2[/tex]
Nên [tex] P \geq \sqrt{(2)^2+(2\sqrt{3})^2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P \geq 4 [/tex]
Vậy Min P = 4 khi x = y = 1

 

[duynhan1]

Theo giả thiết: [tex] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq2[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{xy}}\leq 2[/tex] (Sử dụng bđt cô si)
[tex] \Leftrightarrow \ xy\geq1[/tex]
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: [tex] \Leftrightarrow P\geq \sqrt{(x^3+y^3)^2+(\sqrt{3}(x^2+y^2))^2}[/tex]
Do [tex] x^3+y^3\geq 2sqrt{x^3y^3}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^3+y^3\geq 2 ( xy\geq1 )[/tex]
tương tự [tex] x^2+y^2 geq 2xy [/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2[/tex]

Bạn chú ý khi sử dụng $\Leftrightarrow$ và $\Rightarrow$ nhé.
Từ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le 2$ ta có thể suy ra: $ \frac{2}{\sqrt{xy}}\leq 2$
Nhưng từ: $ \frac{2}{\sqrt{xy}}\leq 2$ ta không thể có điều ngược lại.
Do đó, dấu đúng phải là: $\Rightarrow$ nhé .