Toán 9 Bài 5 đề thi thử KHTN 2020 đợt 2

[Wweee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với a,b,c [tex]\geq 0[/tex] , không đồng thời bằng 0 . Chứng minh rằng
[tex]\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{b+a}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a+c}}\geq 2[/tex]

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]\sqrt[3]{a}=\sqrt{m},\sqrt[3]{b}=\sqrt{n},\sqrt[3]{c}=\sqrt{p}[/tex]
Ta sẽ chứng mính [tex]\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}} \geq \sqrt{\frac{m}{n+p}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{b+c} \leq \sqrt{n+p} \Leftrightarrow (b+c)^2 \leq (n+p)^3 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc \leq n^3+p^3+3np(n+p) \Leftrightarrow 3np(n+p) \geq 2bc[/tex]
Vì [tex]3np(n+p) \geq 2.3np.\sqrt{np}=6\sqrt{n^3p^3}=6bc \geq 2bc \Rightarrow \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}} \geq \sqrt{\frac{m}{n+p}}[/tex]
Bây giờ lại có [tex]\sqrt{\frac{m}{n+p}}=\frac{m}{\sqrt{m(n+p)}} \geq \frac{m}{\frac{m+n+p}{2}}=\frac{2m}{m+n+p}[/tex]
Tương tự cộng vế theo vế ta có đpcm.

 

[Wweee]

Đặt [tex]\sqrt[3]{a}=\sqrt{m},\sqrt[3]{b}=\sqrt{n},\sqrt[3]{c}=\sqrt{p}[/tex]
Ta sẽ chứng mính [tex]\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}} \geq \sqrt{\frac{m}{n+p}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{b+c} \leq \sqrt{n+p} \Leftrightarrow (b+c)^2 \leq (n+p)^3 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc \leq n^3+p^3+3np(n+p) \Leftrightarrow 3np(n+p) \geq 2bc[/tex]
Vì [tex]3np(n+p) \geq 2.3np.\sqrt{np}=6\sqrt{n^3p^3}=6bc \geq 2bc \Rightarrow \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}} \geq \sqrt{\frac{m}{n+p}}[/tex]
Bây giờ lại có [tex]\sqrt{\frac{m}{n+p}}=\frac{m}{\sqrt{m(n+p)}} \geq \frac{m}{\frac{m+n+p}{2}}=\frac{2m}{m+n+p}[/tex]
Tương tự cộng vế theo vế ta có đpcm.

bạn ơi :v bài này nếu dùng chuẩn hóa a+b+c=3 thì cũng không bị mất tính tổng quát hay ảnh hưởng j đến bài đúng k ??? Và dấu bằng là hoán vị (a,b,c)=(0,1,1) à bạn ???

 

[7 1 2 5]

bạn ơi :v bài này nếu dùng chuẩn hóa a+b+c=3 thì cũng không bị mất tính tổng quát hay ảnh hưởng j đến bài đúng k ??? Và dấu bằng là hoán vị (a,b,c)=(0,1,1) à bạn ???

Chuẩn hóa vẫn được nhé bạn. Dấu "=" xảy ra tại (a,b,c)=(0;1,5;1,5)

 

[Wweee]

Thế thì cách mình thế này có ổn không á ?? chuẩn hóa a+b+c=3
Gs [tex]a\geq 0 => 0 < b+c\leq 3[/tex]
Có [tex]a\geq 0 => \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq 0 => P\geq \sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[3]{\frac{c}{b+a}} =\sqrt[3]{\frac{b}{3-b}}+\sqrt[3]{\frac{c}{3-c}}[/tex]
=[tex]\sqrt[3]{\frac{-b}{b-3}}+\sqrt[3]{\frac{-c}{c-3}}[/tex]
Có [tex]b+c\leq 3 <=> b\leq 3-c => -b\geq c-3[/tex]
Tương tự có [tex]-c\geq b-3[/tex]
=> [tex]P\geq \sqrt[3]{\frac{c-3}{b-3}}+\sqrt[3]{\frac{b-3}{c-3}}\geq 2(dpcm)[/tex]