Toán Bài 5 đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh năm học 2015-2016

[an180201]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng hai số [TEX]{a}^{3}[/TEX]+ [TEX] 3{a}^{2}[/TEX] + $b$ và [TEX]{b}^{3}[/TEX]+ [TEX]3{b}^{2}[/TEX] + $a$ không đồng thời là 2 số lập phương đúng (lập phương đúng là lập phương của một số nguyên).
(Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh năm học 2015 - 2016)

 

[riverflowsinyou1]

Ta có thể giải như sau :
Nhận xét nếu $(a,b)$ là nghiệm thì $(b,a)$ cũng là nghiệm.
Giả sử $a \le b$
Khi đó $a^3<a^3+3a^2+b \le a^3+3b^2+3b+1=(a+1)^3$ (vô lí)
Suy ra đpcm