cho x,y,z thuộc R >0 và x+y+z=3.CM:B=[tex]\frac{3+x^{2}}{y+z}+\frac{3+y^{2}}{z+x}+\frac{3+z^{2}}{x+y}\geq 6[/tex]
Theo BĐT AM-GM ta chứng minh được:
[tex]x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)\Leftrightarrow 3\geq xy+yz+zx[/tex]
Có [tex]\frac{3+x^{2}}{y+z}\geq \frac{xy+yz+zx+x^2}{y+z}=\frac{(y+z)(z+x)}{y+z}[/tex]
Tương tự ta sẽ được: [tex]B\geq \frac{(y+x)(z+x)}{y+z}+\frac{(x+y)(z+y)}{z+x}+\frac{(x+z)(y+z)}{x+y}[/tex]
Theo BĐT AM-GM ta có:
[tex]\frac{(y+x)(z+x)}{y+z}+\frac{(x+y)(z+y)}{z+x}\geq 2\sqrt{\frac{(y+x)(z+x)}{y+z}.\frac{(x+y)(z+y)}{z+x}}=2(x+y)[/tex]
Tương tự ta sẽ có được [tex]B\geq \frac{(y+x)(z+x)}{y+z}+\frac{(x+y)(z+y)}{z+x}+\frac{(x+z)(y+z)}{x+y}\geq (x+y)+(y+z)+(z+x)=6(dpcm)[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=y=z=1[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
