Am-gm

[casidainganha]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Năm bài trình độ trung bình thôi ạ. Các bạn trên diễn đàn giải hộ mình nhanh nhanh nhé. Tất cả đều là số dương nhé>-

1, [TEX]\frac{ab}{c^2} +\frac{bc}{a^2} +\frac{ac}{b^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c} +\frac{b+c}{a} +\frac{c+a}{b})[/TEX]

2,Cho a+b+c+abc=4. Chứng minh [TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}} \geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}[/TEX]

3,[TEX]\sum \sqrt\frac{a+b}{c+ab}[/TEX] \geq 3( a+b+c=3)

4,( 1+ a+ b+ c)(1+ab+bc+ac) \geq 4[TEX]\sqrt{2(a+b)(b+c)(a+c)}[/TEX]

5, [TEX]\sum (a+\frac{bc}{a}) \geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)[/TEX]

 

[vipboycodon]

tìm dc trong sách :
đề thiếu a,b,c $\ge 0$
Từ $a+b+c+abc = 4$ ta cm:
$a+b+c \ge ab+bc+ac$
Thật vậy , không mất tính tổng quát giả sử $a \le b \le c$. ta phải chứng minh:
$a+b-ab \ge \dfrac{4-a-b}{ab+1}(a+b-1)$

<=> $(a+b-2)^2 \ge ab(a-1)(b-1)$
Theo bdt AM-GM ta có ngay đpcm:
$(a+b-2)^2 \ge 4(a-1)(b-1) \ge ab(a-1)(b-1)$

Trở lại bài toán theo bdt cauchy-schwarz thì
$\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+c}}+ \dfrac{c}{\sqrt{a+b}} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{c\sqrt{a+b}+a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}}$ ,

$c\sqrt{a+b}+a\sqrt{b+c}+ b\sqrt{a+c} \le \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ac)}$
Do đó: $\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+c}}+ \dfrac{c}{\sqrt{a+b}} \ge (a+b+c)\sqrt{\dfrac{a+b+c}{2(ab+bc+ac)}} \ge \dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$