AM, BN, CP là phân giác trong tam giác ABC

[maruco369]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, giả sử AM, BN, CP là các phân giác trong tam giác ABC:
a, CMR[TEX]\frac{MB}{MC}.\frac{PA}{PB}.\frac{NC}{NA}=1[/TEX]
b, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. [TEX]\frac{AI}{AM}=?[/TEX] theo $a=BC, b=AC, c=AB$
c, CMR: [TEX]\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

 

[luffy_1998]

a.
$\dfrac{MB}{MC} . \dfrac{PA}{PB} . \dfrac{NC}{NA} = \dfrac{AB}{AC} . \dfrac{AC}{BC} . \dfrac{BC}{AB} = 1. (dpcm)$
b.$\dfrac{BM}{c} = \dfrac{CM}{b} = \dfrac{a}{b + c} \rightarrow BM = \dfrac{ac}{b + c}$
$\dfrac{AI}{IM} = \dfrac{AB}{BM} = \dfrac{c(b + c)}{ac} = \dfrac{b + c}{a}$
$\rightarrow \dfrac{AI}{AM} = \dfrac{b + c}{b + c + a}$
c.
Đưởng thẳng qua B, song song AM cắt AC tại K.
$BK // AM \rightarrow \widehat{KBA} = \widehat{BAM} = \widehat{MAC} = \widehat{BKA} \rightarrow \triangle BAK$ cân tại A $\rightarrow AB = AK$
$\dfrac{AM}{KB} = \dfrac{CA}{CK} = \dfrac{CA}{CA + AB} = \dfrac{b}{b + c}$
$\rightarrow AM = KB. \dfrac{b}{b + c} < 2AB. \dfrac{b}{b + c} = \dfrac{2bc}{b + c}$
$\rightarrow \dfrac{1}{AM} > \dfrac{b + c}{2bc}$
Tương tự:
$\dfrac{1}{BN} > \dfrac{a + c}{2ac}, \dfrac{1}{CP} > \dfrac{a + b}{2ab}$
$\rightarrow \dfrac{1}{AM} + \dfrac{1}{BN} + \dfrac{1}{CP} > \dfrac{ab + bc + ca}{abc} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}. (dpcm)$

 

[maruco369]

a.
$\dfrac{MB}{MC} . \dfrac{PA}{PB} . \dfrac{NC}{NA} = \dfrac{AB}{AC} . \dfrac{AC}{BC} . \dfrac{BC}{AB} = 1. (dpcm)$
b.$\dfrac{BM}{c} = \dfrac{CM}{b} = \dfrac{a}{b + c} \rightarrow BM = \dfrac{ac}{b + c}$
$\dfrac{AI}{IM} = \dfrac{AB}{BM} = \dfrac{c(b + c)}{ac} = \dfrac{b + c}{a}$
c.
Đưởng thẳng qua B, song song AM cắt AC tại K.
$BK // AM \rightarrow \widehat{KBA} = \widehat{BAM} = \widehat{MAC} = \widehat{BKA} \rightarrow \triangle BAK$ cân tại A $\rightarrow AB = AK$
$\dfrac{AM}{KB} = \dfrac{CA}{CK} = \dfrac{CA}{CA + AB} = \dfrac{b}{b + c}$
$\rightarrow AM = KB. \dfrac{b}{b + c} < 2AB. \dfrac{b}{b + c} = \dfrac{2bc}{b + c}$
$\rightarrow \dfrac{1}{AM} > \dfrac{b + c}{2bc}$
Tương tự:
$\dfrac{1}{BN} > \dfrac{a + c}{2ac}, \dfrac{1}{CP} > \dfrac{a + b}{2ab}$
$\rightarrow \dfrac{1}{AM} + \dfrac{1}{BN} + \dfrac{1}{CP} > \dfrac{ab + bc + ca}{abc} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}. (dpcm)$

bạn lam` sai câu b rồi....mình ra kết quả khác cơ...đáp số [TEX]\frac{b+c}{a+b+c}[/TEX:p][/TEX]

 

[luffy_1998]

bạn lam` sai câu b rồi....mình ra kết quả khác cơ...đáp số [TEX]\frac{b+c}{a+b+c}[/TEX:p][/QUOTE] chỗ đó đề bảo tính AI/AM mà mình mới tính AI//IM. thiếu chứ đâu có sai. Đã bổ sung.[/TEX]