Tớ sẽ chứng minh giới hạn [TEX]\frac{n}{3^n}=0[/TEX] bằng định nghĩa. Phải nói là học sinh rất ngại cái định nghĩa này
Trước hết nhắc lại cái định nghĩa đã
a gọi là giới hạn của dãy [TEX]U_n [/TEX] khi n tới vô cùng khi và chỉ khi [TEX]\forall \epsilon >0 [/tex] đủ nhỏ, luôn [tex]\exists N >0 [/tex] sao cho [tex]\forall n \geq N[/tex] thì [tex]| U_n -a|< \epsilon [/TEX]
Rồi, bây giờ ta có hai nhận định
1. [TEX]\forall \epsilon >0 [/tex] đủ nhỏ, luôn [tex]\exists N >0 [/tex] sao cho [tex] \frac{N}{3^N} \leq \epsilon [/tex] (chuyển vế quy đồng rồi khảo sát với N đủ lớn)
2. Dãy [TEX]U_n[/TEX] dương,đơn điệu giảm ( [TEX]\frac{U_n}{U_{n-1}}<1[/TEX] )
"Ốp" vào định nghĩa...Vậy với mọi n>N thì [TEX]|U_n-0| = U_n< U_N < \epsilon[/TEX]
Vậy giới hạn =0