ai làm được thi chuyên tốt

[tamuonlamhoangde]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c ta có
a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc
(đề thi vô địch toán Úc,1971)

 

[daovuquang]

Cái này của lớp 8 sao lại post ở đây?:|ádkfjasd;lfkjadskfl;j

 

[braga]

BĐT cần chứng minh tương đương với
[TEX]abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)[/TEX]

TH1: trong ba số a, b, c có một số lớn hơn tổng hai số còn lại.
Khi đó vế trái của BĐT dương, còn vế phải âm luôn đúng.

TH2: ba số a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
khi đó ta có:
[TEX]a\ge\sqrt{(a+b-c).(a+c-b)}[/TEX]

Tương tự [TEX]b\ge\sqrt{(b+c-a)(b+a-c)}[/TEX]
[TEX]c\ge\sqrt{(c+a-b)(c+b-a)}[/TEX].
Nhân vế với vế ta được điều phải chứng minh.

TH3: Trong ba số (a+b-c), (b+a-c), (c+a-b) có hai số nhỏ hơn 0.

Không mất tính tổng quát giả sử [TEX](b+a-c)\le0[/TEX] và [TEX](c+a-b)\le0[/TEX].

Cộng vế với vế ta được [TEX]2a\le0[/TEX]. Vô lý vì theo giả thiết thì a lớn 0.



Nguồn: Mathscope