ai giúp mình với bai tập dễ mọi người jups tơ chút

[mastercity]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh bất phương trinh lagarit
chứng minh

với [tex]\forall x>1; \log_{x}^{(x+1)}>\log_{x+1}^{(x+2)}[/tex]


mong các cậu sớm giúp mình @-)

 

[tbinhpro]

chứng minh bất phương trinh lagarit
chứng minh

với [tex]\forall x>1; \log_{x}(x+1)>\log_{(x+1)}(x+2)[/tex]


mong các cậu sớm giúp mình @-)

Chào bạn!Mình xin trợ giúp cho bạn bài này nhé!
Đặt [TEX]a=\log_{x}(x+1),b=\log_{(x+1)}(x+2)(a,b>1)[/TEX] ta có:
[TEX]\left{\begin{x+1=x^{a}}\\{x+2=(x+1)^{b}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^{a}+1=(x+1)^{b}[/TEX]
Giả sử [TEX]a\leq b[/TEX] ta có:
[TEX]x^{a}+1\leq x^{b}+1(1)[/TEX]
Mặt khác ta có:Xét hàm số [TEX]f(x)=(x+1)^{b}-x^{b}-1[/TEX]
có [TEX]f'(x)=b[(x+1)^{b-1}-x^{b-1}][/TEX]
Vì b>1 và x>1 nên [TEX](x+1)^{b-1}>x^{b-1}\Rightarrow f'(x)<0 \forall x>1[/TEX]

Mà [TEX]f(1)=2^b -2>0[/TEX](Do [TEX]b>1\Rightarrow 2^b >2[/TEX])

Suy ra [TEX](x+1)^{b}-x^{b}-1>0\Leftrightarrow (x+1)^{b}>x^{b}+1(2)[/TEX]
Từ (1) và (2) suy ra [TEX]x^{a}+1<(x+1)^{b}(Voli)[/TEX]
Do đó đẳng thức [TEX]x^{a}+1=(x+1)^{b}[/TEX] xảy ra khi và chỉ khi a>b

Vậy [TEX]\log_{x}(x+1)>\log_{(x+1)}(x+2) \forall x>1[/TEX]
Chúc bạn thành công!