Ai giúp e chứng minh BĐT này với

[blackdevil21]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,
[tex]3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)[/tex]

2, BĐt Nesbitt theo bdt bunhia (nếu không được thì cách # cũng được :">)
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/tex]

3,
[tex]\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...\frac{a_n^2%20%20}{b_n}%20\ge\frac{(a_1+a_2+...a_n)^2}{b_1+b_2+...b_n}[/tex]

 

[niemkieuloveahbu]

Bài 1:
[TEX]3(ab+bc+ca)\leq(a+b+c)^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq0[/TEX](hiển nhiên đúng)
[TEX](a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)[/TEX] Bài này rất nhiều cách cm,cách đơn giản nhất
\Leftrightarrow[TEX]2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\geq0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq0[/TEX](hiển nhiên đúng)
\RightarrowĐPCM
Bài 2: Bài này có tới 20 cách chứng minh,nhưng chị thích cách làm này nhất(dễ,)),em thiếu đk a,b,c là 3 số thực dương.
BĐT\Leftrightarrow[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \fra{9}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX][(a+b)+(b+c)+(c+a)](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq9[/TEX]
Áp dụng AM-GM [TEX](a+b)+(b+c)+(c+a)\geq3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}}[/TEX]
NHân 2 vế đc ĐPCM
Bài 3:cũng đk là các số thực dương
Bài dựa theo BĐT BCS
theo BCS[TEX](x_1y_1+x_2y_2+.............+x_ny_n)^2\leq(x_1^2+x_2^2+.........+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+...........+y_n^2)[/TEX]
Chọn [TEX]x_i= \frac{a_i}{\sqrt{b_i}},y_i=\sqrt{b_i}, a_i,b_i \in R,b_i >0[/TEX]
Ta thu được [TEX](\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+......+\frac{a_n^2}{b_n})\geq\frac{(a_1+a_2+....+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra như của BCS
>->- Xong nhé.

 

[nhatok]

áp dụng bất đẳng thức
[TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]\geqab+bc+ac............(1)
\Rightarrow[TEX]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca[/TEX]\geq0
\Rightarrow[TEX]a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca[/TEX]\geq3(ab+bc+ac)
\Rightarrow[TEX](a+b+c)^2[/TEX]\geq3(ab+bc+ac).........(2)
từ (1)\Rightarrow[TEX](-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca)[/TEX]\leq0
\Rightarrow[TEX](-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2bc+2ca)[/TEX]\leq0
\Rightarrow[TEX]a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca[/TEX]\leq[TEX]3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
\Rightarrow[TEX](a+b+c)^2[/TEX]\leq[TEX]3(a^2+b^2+c^2)[/TEX].,...(3)
từ (2) và(3)\Rightarrowđpcm