ae giup vs nha

T

toxic123

Last edited by a moderator:
A

asroma11235

CHo 3 số a;b;c sao cho a+b+c=3 Tìm Max của:
A= (a-b)(b-c)(c-a)
a,b,c phải là các số thực không âm.
Ta sẽ chứng minh: [TEX](a-b)(b-c)(c-a) \leq \frac{(a+b+c)^3}{6 \sqrt{3}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)^3 \geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)[/TEX] (*)
Giả sử [TEX]a= \max \{a,b,c}[/TEX]
Với [TEX]a \geq b \geq c[/TEX] thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Với [TEX]a \geq c \geq b[/TEX] , ta có:
(*) [TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)^6 \geq 108[(a-b)(b-c)(c-a)]^2[/TEX]
Ta có: [TEX][(a-b)(b-c)(c-a)]^2 = [(a-b)(c-b)(a-c)]^2 \leq (a-c)^2a^2c^2[/TEX]
Áp dụng AM-GM, ta có:
[TEX]4(a-c)^2a^2c^2=(a-c)^2.2ac.2ac \leq \frac{[(a-c)^2+2ac+2ac]^3}{27} = \frac{(a+c)^6}{27}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a-c)^2a^2c^2 \leq \frac{(a+c)^6}{108} \leq \frac{(a+b+c)^6}{108}[/TEX]
Vậy [TEX][(a-b)(b-c)(c-a)]^2 \leq \frac{(a+b+c)^6}{108} [/TEX]
[TEX]\vec{Q.E.D}[/TEX]
 
Top Bottom