Toán 9 $a=\sqrt2-1$.CM: $\forall n\in \mathbb{Z}$ số $a^n$ viết được dưới dạng $\sqrt m-\sqrt{m-1}$

[Master Kaeton]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a =[tex]\sqrt{2} -1[/tex]
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số a^n viết được dưới dạng [tex]\sqrt{m}- \sqrt{m-1}[/tex]
trong đó m là số tự nhiên

Các bạn giải giúp mình bài này nha. Mong các bạn đừng chép nc và pt toán, vì mình đọc hoài vẫn chưa hiểu lắm .-. Nếu có thì mong các bạn có thể giải thích rõ hơn từng bước làm trong bài.
Mình cảm ơn nhiều.

 

[kido2006]

Cho a =[tex]\sqrt{2} -1[/tex]
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số a^n viết được dưới dạng [tex]\sqrt{m}- \sqrt{m-1}[/tex]
trong đó m là số tự nhiên

Các bạn giải giúp mình bài này nha. Mong các bạn đừng chép nc và pt toán, vì mình đọc hoài vẫn chưa hiểu lắm .-. Nếu có thì mong các bạn có thể giải thích rõ hơn từng bước làm trong bài.
Mình cảm ơn nhiều.

Theo khai triển nhị thức Newton [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (1-\sqrt{2})^n=A-B\sqrt{2} \\ (1+\sqrt{2})^n=A+B\sqrt{2} \end{matrix}\right.(A,B\in \mathbb{N})\\ \Rightarrow (-1)^n=(1-\sqrt{2})^n(1+\sqrt{2})^n=(A-B\sqrt{2})(A+B\sqrt{2})=A^2-2B^2\\ \textrm{TH1: n chẵn}\\ \Rightarrow a^n=(1-\sqrt{2})^n=A-B\sqrt{2}=\sqrt{A^2}-\sqrt{2B^2}=\sqrt{A^2}-\sqrt{A^2-1}\textrm{(đpcm)}\\ \textrm{TH2: n lẻ}\\ \Rightarrow a^n=-(1-\sqrt{2})^n=-A+B\sqrt{2}=-\sqrt{A^2}+\sqrt{2B^2}=-\sqrt{A^2}+\sqrt{A^2+1}\textrm{(đpcm)}\\[/tex]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^ !​