[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1/ Dạng áp dụng dấu hiệu 1 & 4
* Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) nội tiếp trong đường tròn tâm I; bán kính r. Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giác ABC.
a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp được trong đường tròn tâm K. Xác định tâm K của đường tròn này.
b/ Chứng minh hai đường tròn ( I ) và ( K ) tiếp xúc nhau.
*Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh APIH nội tiếp được trong một đường tròn:
- Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính AI. Chứng minh tương tự đối với điểm H. Từ đó xác định được tâm K ( là trung điểm đoạn AI ).
( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập 2 trang 85)
b/ Nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc nhau:
- Hai đường tròn cùng đi qua chỉ có 1 điểm duy nhất thì chúng tiếp xúc với nhau; hoặc TX trong, hoặc TX ngoài.
- Tiếp xúc ngoài nếu khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính. OO’ = R + r
- Tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính. OO’ = R – r> 0
- Tính IK để kết luận 2 đường tròn (I) và ( K ) tiếp xúc trong tại A.
Bài 2:
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = IO.
Kẻ dây MN vuông góc AB tại I. Gọi C là một điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC, cắt MN tại E.
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong 1 đường tròn. Xác định tâm đường tròn này.
b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
Gợi ý:
a/ Chứng minh tương tự câu a ở bài 1 trên. (Góc ACB chắn đườngkính AB; MI vuông góc AB)
Tâm đường trong nội tiép IECB nằm tại trung điểm EB
Câu b/ Hai TG đó có chung góc A, góc AME và ACM chắn 2 cung AM = cung AN
* Bài 3:
Cho tam giác ABC cân tại A ( ). Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm của BC. Hai đường thẳng AM và EN cắt nhau tại F.
a/ Chứng minh các tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn này.
b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.
Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu 1 để ch.minh MCNF và dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh AMNE là tứ giác nội tiếp.
- Tứ giác MCNF có góc M=gócN =gócvuông
- Góc M và góc N cùng chắn AB
=> Trung điểmAB là tâm ĐT ngoại tiếp
b/ Chứng minh 2 tamgiác vuông AME và FME bằng nhau do EM chung, chứng minh thêm AM = MF
a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) tại hai điểm D và E.
b/ Chứng minh 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này.
c/ BC cắt OA và OK theo thứ tự tại M và S. Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp được trong một đường tròn.
Gợi ý:
* Câu a: Hiển nhiên vì OK < R
*Câu b: dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh 5 điểm thuộc đường tròn.
- Biết OB và OC là các bán kính đường tròn giao với tiếp tuyến nên OB AB; OC AC.
- OK vuông góc AK theo cách dựng của GT
* Câu c: dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh:
Góc AKS vuông và góc AMS vuông ( theo cách dựng) cùng nhìn cạnh AS của tứ giác AMKS, vậy đó là tứgiác nội tiếp.
a/ Chứng minh bốn điểm D, B, O, M cùng thuộc một đường tròn.
b/ Chứng minh D, B, O, M, K cùng thuộc một đường tròn.
Gợi ý: Đọc kĩ đề vẽ hình đúng
* Câu a/
- So sánh góc MOE và góc MBC.
- So sánh góc MOD và góc MBD
- Hai điểm O và B cùng nhìn đoạn thẳng DM dưới một góc bằng nhau.=> tứ giác DBOM ?
* Câub/ Chứng minh B, O, M, K cùng thuộc một đường tròn ( dấu hiệu 1) vì 2 bán kính OM vuông góc MKvà OB vuông góc BK => kết luận 5 điểm B, O, M, K, D cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập vận dụng dấu hiệu 2
(Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.)
a/Chứng minh HK EB
b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp được trong một đường tròn.
Gợi ý:
* Câu a/
- góc B chắn đường kính AI => góc B vuông
- OE vuông AB => HK là đường trung bình của hình thang EBOI, từ đó kết luận HK vuông EB
*Câu b/
- Chứng minh ∆EKB cân tại K => BEK = EBK (1)
- Chứng minh góc EBK = góc KCA do ∆KCB cân (2)
- Từ (1) và (2) => góc BEK là góc ngoài tại đỉnh E của tứ giác AEKC bằng góc ACK ( là góc tại đỉnh đối của đỉnh E). => AEKC nội tiếp được trong đường tròn.
a/ Chứng minh NS = MN.
b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT.
c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp được trong một đường tròn.
Gợi ý:
a/ Điểm P nằm chính giữa nửa đường tròn
=> góc MPN vuông => ÐPMN = 450 => PNS = 450
=> ∆MNS là tam giác vuông cân
=> MN = N S (điều cần chứng minh).
b/ Vì NQT vuông nên 2 tam giác MNT và NTQ là 2 tam giác vuông đồng dạng ( góc - góc)
c/ Kẻ tiếp tuyến PH , => PH vuông NS ta có các tam giác vuông cân và các góc bằng nhau = 45o như hình vẽ
Chứng minh được T1 = S + M2 = S + P2 + P2
=. ( dựa vào dấu hiệu 2) => ĐPCM
Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp.
Gợi ý:
* Cách 1: Chứng minh tương tự bài 7 Phần b.
* Cách 2: Để dễ theo dõi ta đánh số các góc 1,2,3 và bôi màu các góc bằng nhau như hình bên à
góc A1 = góc B1 (góc của 2 ∆ vuông đồng dạng);
góc A2 = góc B2 (vì cùng chắn cung ED);
gócB1 = gócD1 ( cùng chán cung AE)
=> gócB1 = góc A1 = góc D1;
gócF2 và gócB1 phụ nhau => F2 và D1 phụ nhau;
mà góc D2 và góc D1 cũng phụ nhau => Do đó F2 = D2 => F1 + D2 = 2v (ĐPCM)
3/Bài tập vận dụng dấu hiệu 3:
a/ Các tam giác CEF và EMB là những tam giác gì?
b/ Chứng minh bốn điểm D, C, M, B thuộc đường tròn tâm E.
Gợi ý:
Câu a: Góc CEF là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn; góc FCE là góc nội tiếp chắn cung ED. Lập các biểu thức về số đo các góc đó, so sánh để thấy 2 góc đó bằng nhau. Kết luận tam giác CEF là tam giác Cân.
- Chứng minh tương tự đối với tam giác EMB.
* Câu b: Từ câu trên suy ra EC = EB = EF = EM.
Dựa vào dấu hiểu 3 kết luận điều phải chứng minh.
* Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) nội tiếp trong đường tròn tâm I; bán kính r. Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giác ABC.
a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp được trong đường tròn tâm K. Xác định tâm K của đường tròn này.
b/ Chứng minh hai đường tròn ( I ) và ( K ) tiếp xúc nhau.
*Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh APIH nội tiếp được trong một đường tròn:
- Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính AI. Chứng minh tương tự đối với điểm H. Từ đó xác định được tâm K ( là trung điểm đoạn AI ).
( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập 2 trang 85)
b/ Nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc nhau:
- Hai đường tròn cùng đi qua chỉ có 1 điểm duy nhất thì chúng tiếp xúc với nhau; hoặc TX trong, hoặc TX ngoài.
- Tiếp xúc ngoài nếu khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính. OO’ = R + r
- Tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính. OO’ = R – r> 0
- Tính IK để kết luận 2 đường tròn (I) và ( K ) tiếp xúc trong tại A.
Bài 2:
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = IO.
Kẻ dây MN vuông góc AB tại I. Gọi C là một điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC, cắt MN tại E.
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong 1 đường tròn. Xác định tâm đường tròn này.
b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
Gợi ý:
a/ Chứng minh tương tự câu a ở bài 1 trên. (Góc ACB chắn đườngkính AB; MI vuông góc AB)
Tâm đường trong nội tiép IECB nằm tại trung điểm EB
Câu b/ Hai TG đó có chung góc A, góc AME và ACM chắn 2 cung AM = cung AN
* Bài 3:
Cho tam giác ABC cân tại A ( ). Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm của BC. Hai đường thẳng AM và EN cắt nhau tại F.
a/ Chứng minh các tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn này.
b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.
Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu 1 để ch.minh MCNF và dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh AMNE là tứ giác nội tiếp.
- Tứ giác MCNF có góc M=gócN =gócvuông
- Góc M và góc N cùng chắn AB
=> Trung điểmAB là tâm ĐT ngoại tiếp
b/ Chứng minh 2 tamgiác vuông AME và FME bằng nhau do EM chung, chứng minh thêm AM = MF
- Bài 4:
a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) tại hai điểm D và E.
b/ Chứng minh 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này.
c/ BC cắt OA và OK theo thứ tự tại M và S. Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp được trong một đường tròn.
Gợi ý:
* Câu a: Hiển nhiên vì OK < R
*Câu b: dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh 5 điểm thuộc đường tròn.
- Biết OB và OC là các bán kính đường tròn giao với tiếp tuyến nên OB AB; OC AC.
- OK vuông góc AK theo cách dựng của GT
* Câu c: dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh:
Góc AKS vuông và góc AMS vuông ( theo cách dựng) cùng nhìn cạnh AS của tứ giác AMKS, vậy đó là tứgiác nội tiếp.
- Bài 5:
a/ Chứng minh bốn điểm D, B, O, M cùng thuộc một đường tròn.
b/ Chứng minh D, B, O, M, K cùng thuộc một đường tròn.
Gợi ý: Đọc kĩ đề vẽ hình đúng
* Câu a/
- So sánh góc MOE và góc MBC.
- So sánh góc MOD và góc MBD
- Hai điểm O và B cùng nhìn đoạn thẳng DM dưới một góc bằng nhau.=> tứ giác DBOM ?
* Câub/ Chứng minh B, O, M, K cùng thuộc một đường tròn ( dấu hiệu 1) vì 2 bán kính OM vuông góc MKvà OB vuông góc BK => kết luận 5 điểm B, O, M, K, D cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập vận dụng dấu hiệu 2
(Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.)
- Bài 6:
a/Chứng minh HK EB
b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp được trong một đường tròn.
Gợi ý:
* Câu a/
- góc B chắn đường kính AI => góc B vuông
- OE vuông AB => HK là đường trung bình của hình thang EBOI, từ đó kết luận HK vuông EB
*Câu b/
- Chứng minh ∆EKB cân tại K => BEK = EBK (1)
- Chứng minh góc EBK = góc KCA do ∆KCB cân (2)
- Từ (1) và (2) => góc BEK là góc ngoài tại đỉnh E của tứ giác AEKC bằng góc ACK ( là góc tại đỉnh đối của đỉnh E). => AEKC nội tiếp được trong đường tròn.
- Bài 7:
a/ Chứng minh NS = MN.
b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT.
c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp được trong một đường tròn.
Gợi ý:
a/ Điểm P nằm chính giữa nửa đường tròn
=> góc MPN vuông => ÐPMN = 450 => PNS = 450
=> ∆MNS là tam giác vuông cân
=> MN = N S (điều cần chứng minh).
b/ Vì NQT vuông nên 2 tam giác MNT và NTQ là 2 tam giác vuông đồng dạng ( góc - góc)
c/ Kẻ tiếp tuyến PH , => PH vuông NS ta có các tam giác vuông cân và các góc bằng nhau = 45o như hình vẽ
Chứng minh được T1 = S + M2 = S + P2 + P2
=. ( dựa vào dấu hiệu 2) => ĐPCM
- Bài 8:
Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp.
Gợi ý:
* Cách 1: Chứng minh tương tự bài 7 Phần b.
* Cách 2: Để dễ theo dõi ta đánh số các góc 1,2,3 và bôi màu các góc bằng nhau như hình bên à
góc A1 = góc B1 (góc của 2 ∆ vuông đồng dạng);
góc A2 = góc B2 (vì cùng chắn cung ED);
gócB1 = gócD1 ( cùng chán cung AE)
=> gócB1 = góc A1 = góc D1;
gócF2 và gócB1 phụ nhau => F2 và D1 phụ nhau;
mà góc D2 và góc D1 cũng phụ nhau => Do đó F2 = D2 => F1 + D2 = 2v (ĐPCM)
3/Bài tập vận dụng dấu hiệu 3:
- Bài 9:
a/ Các tam giác CEF và EMB là những tam giác gì?
b/ Chứng minh bốn điểm D, C, M, B thuộc đường tròn tâm E.
Gợi ý:
Câu a: Góc CEF là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn; góc FCE là góc nội tiếp chắn cung ED. Lập các biểu thức về số đo các góc đó, so sánh để thấy 2 góc đó bằng nhau. Kết luận tam giác CEF là tam giác Cân.
- Chứng minh tương tự đối với tam giác EMB.
* Câu b: Từ câu trên suy ra EC = EB = EF = EM.
Dựa vào dấu hiểu 3 kết luận điều phải chứng minh.
