Toán 8 Đề HSG

[02-07-2019.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho x,y,z đôi một khác nhau và x+y+z=0
Tính giá trị biểu thức A= [tex]\frac{x^2y+2xz^2-xy^2-2yz^2}{2xy^2+2yz^2+2zx^2+3xyz}[/tex]
Bài 2: Cho a,b là số hữu tỉ thỏa mãn [tex]a^2+b^2+(\frac{ab+2}{a+b})^2 = 4[/tex]. Chứng minh ab+2 viết được dưới dạng bình phương của 1 biểu thức hữu tỉ!!!
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD có cạnh = a. Trên tia đối của tia CD lấy E sao cho: CE=a. Gọi N là trung điểm của BE, từ B vẽ BH vuông góc DN ( H thuộc DN)
a, C/m: Góc AHC = 90o
b, Gọi M là trung điểm AB. C/m: Tam giác DNM vuông cân.
c, HA^4 + HB^4 + HC^4 + HD^4 theo a.
Giúp mình nha! Cảm ơn nhé!

 

[ngây ngô]

ài 3:
Cho hình vuông ABCD có cạnh = a. Trên tia đối của tia CD lấy E sao cho: CE=a. Gọi N là trung điểm của BE, từ B vẽ BH vuông góc DN ( H thuộc DN)
a, C/m: Góc AHC = 90o
b, Gọi M là trung điểm AB. C/m: Tam giác DNM vuông cân.
c, HA^4 + HB^4 + HC^4 + HD^4 theo a.
Giúp mình nha! Cảm ơn nhé!

câu c theo a là sao zậy?

 

[02-07-2019.]

câu c theo a là sao zậy?

Đáp án :
Câu 1:
Xét tổng của Tử và Mẫu phân thức: B= [tex]x^2y+2xz^2-xy^2-2yz^2 + 2xy^2 + 2yz^2 + 2zx^2 + 3xyz[/tex]
B=[tex]x^2y+xy^2+xyz+2xz^2+2zx^2+2xyz[/tex]
B= [tex]xy(x+y+z)+2xz(x+y+z)[/tex]
Do x+y+z=0 nên B=0.
=> Tử và mẫu đối nhau nên :
A = -1
Câu 2:
Đặt: a+b=u; ab = t ta có:
[tex]a^2+b^2+(\frac{ab+2}{a+b})^2=4[/tex]
[tex](a+b)^2-2ab+(\frac{ab+2}{a+b})^2=4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow u^2-2t+(\frac{t+2}{u})^2=4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow u^4+(t+2)^2-2tu^2=4u^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow u^4-4u^2-2tu^2+(t+2)^2=0[/tex]
[tex](u^2-t-2)^2=0[/tex]
[tex]\Rightarrow u^2=t+2 \Leftrightarrow ab+2=(a+b)^2[/tex]
Điều phải chứng minh.
Câu 3:
Các bạn tự vẽ hình:
a, Lấy điểm O là giao hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD
Theo tính chất hình vuông => AO=OB=OC=OD
Do tam giác BHD cân ở H =>OH=OD=OB
=>OH=OA=OC=> Tam giác AHC vuông ở H.
b, Xét tam giác OMB vuông cân ở M => OM=MB và góc MOB=45 độ.
Do MOB và DOM kề bù mà MOB=45 độ => MOD =135 độ.
Có góc MBN =135 độ ( EBC =45 độ)
Xét tứ giác ABEC là hình bình hành ( AB//EC , AB=CE) => AC=BE=>OC=BN =>OD=BN.
=> Tam giác MOD = tam giác MBN ( c-g-c)
DM=MN và DMO=NMB =>DMO+OMN=NMB+OMN =90 độ.
=> Tam giác DMN vuông cân ở M.
c,Kẻ HQ vuông BD và HI vuông AC.
=> HQ . BD = BH . HD ( diện tích tam giác BHD)
và HI . AC = AH . HC
Tứ giác QOCH có 3 góc vông ở O,Q,I
Nên tứ giác QOCH là hình chữ nhật =>IQ=OH
Ta có : [tex]BD^2=AC^2=AB^2+AC^2=2a^2[/tex]
=>[tex]HA^2+HB^2=AC^2=2a^2[/tex]
=> [tex]HA^4+HC^4+2HC^2HA^2=4a^2 (1)[/tex]
Tương tự : => [tex]HB^4+HD^4+2HB^2HD^2 = 4a^2 (2)[/tex]
Diện tích tam giác AHC : [tex]\frac{HA\times HC}{2}=\frac{IH\times AC}{2} \Rightarrow AH . HC = IH.AC \Rightarrow AH^2 . HC^2 = IH^2.AC^2[/tex]
Tương tự : [tex]HB^2.HD^2=HQ^2.BD^2=HQ^2.AC^2[/tex]
Đặt P=[tex]HA^4+HB^4+HC^4+HD^4[/tex]
Từ (1) và (2) nên : [tex]P+2AC^2(HI^2+HQ^2)=8a^4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P+2.2a^2.IQ^2=8a^4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P+4a^2.OH^2=8a^4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P+4a^2.\frac{1}{4}.2a^2=8a^4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P=6a^4[/tex]
** Bạn Ngây Ngô: a ở đây là số đo cạnh hình vuông!

 

[kido2006]

Đáp án :
Câu 1:
Xét tổng của Tử và Mẫu phân thức: B= [tex]x^2y+2xz^2-xy^2-2yz^2 + 2xy^2 + 2yz^2 + 2zx^2 + 3xyz[/tex]
B=[tex]x^2y+xy^2+xyz+2xz^2+2zx^2+2xyz[/tex]
B= [tex]xy(x+y+z)+2xz(x+y+z)[/tex]
Do x+y+z=0 nên B=0.
=> Tử và mẫu đối nhau nên :
A = -1
Câu 2:
Đặt: a+b=u; ab = t ta có:
[tex]a^2+b^2+(\frac{ab+2}{a+b})^2=4[/tex]
[tex](a+b)^2-2ab+(\frac{ab+2}{a+b})^2=4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow u^2-2t+(\frac{t+2}{u})^2=4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow u^4+(t+2)^2-2tu^2=4u^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow u^4-4u^2-2tu^2+(t+2)^2=0[/tex]
[tex](u^2-t-2)^2=0[/tex]
[tex]\Rightarrow u^2=t+2 \Leftrightarrow ab+2=(a+b)^2[/tex]
Điều phải chứng minh.
Câu 3:
Các bạn tự vẽ hình:
a, Lấy điểm O là giao hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD
Theo tính chất hình vuông => AO=OB=OC=OD
Do tam giác BHD cân ở H =>OH=OD=OB
=>OH=OA=OC=> Tam giác AHC vuông ở H.
b, Xét tam giác OMB vuông cân ở M => OM=MB và góc MOB=45 độ.
Do MOB và DOM kề bù mà MOB=45 độ => MOD =135 độ.
Có góc MBN =135 độ ( EBC =45 độ)
Xét tứ giác ABEC là hình bình hành ( AB//EC , AB=CE) => AC=BE=>OC=BN =>OD=BN.
=> Tam giác MOD = tam giác MBN ( c-g-c)
DM=MN và DMO=NMB =>DMO+OMN=NMB+OMN =90 độ.
=> Tam giác DMN vuông cân ở M.
c,Kẻ HQ vuông BD và HI vuông AC.
=> HQ . BD = BH . HD ( diện tích tam giác BHD)
và HI . AC = AH . HC
Tứ giác QOCH có 3 góc vông ở O,Q,I
Nên tứ giác QOCH là hình chữ nhật =>IQ=OH
Ta có : [tex]BD^2=AC^2=AB^2+AC^2=2a^2[/tex]
=>[tex]HA^2+HB^2=AC^2=2a^2[/tex]
=> [tex]HA^4+HC^4+2HC^2HA^2=4a^2 (1)[/tex]
Tương tự : => [tex]HB^4+HD^4+2HB^2HD^2 = 4a^2 (2)[/tex]
Diện tích tam giác AHC : [tex]\frac{HA\times HC}{2}=\frac{IH\times AC}{2} \Rightarrow AH . HC = IH.AC \Rightarrow AH^2 . HC^2 = IH^2.AC^2[/tex]
Tương tự : [tex]HB^2.HD^2=HQ^2.BD^2=HQ^2.AC^2[/tex]
Đặt P=[tex]HA^4+HB^4+HC^4+HD^4[/tex]
Từ (1) và (2) nên : [tex]P+2AC^2(HI^2+HQ^2)=8a^4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P+2.2a^2.IQ^2=8a^4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P+4a^2.OH^2=8a^4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P+4a^2.\frac{1}{4}a^2=8a^4[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P=7a^4[/tex]
** Bạn Ngây Ngô: a ở đây là số đo cạnh hình vuông!

có j đó sai sai ở câu c bạn à. mình ra [tex]6a^{4}[/tex]