Toán 8 Tìm GTNN

[Lê Tự Đông]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b>0 và a+b=1 Tìm GTNN của Q=2(a^4+b^4)+1/4ab.

 

[System32]

Có phải biểu thức trên là [tex]Q = \frac{2(a^4+b^4)+1}{4ab}[/tex]?

 

[Lê Tự Đông]

Có phải biểu thức trên là [tex]Q = \frac{2(a^4+b^4)+1}{4ab}[/tex]?

Q= 2(a^4+b^4) + 1/(4ab)

 

[System32]

Q= 2(a^4+b^4) + 1/(4ab)

Vậy biểu thức trên là [tex]Q = 2(a^4+b^4)+\frac{1}{4ab}[/tex] à?
Bạn nên sử dụng chức năng gõ công thức nhé, không là mình lại giải nhầm

 

[Lê Tự Đông]

Vậy biểu thức trên là [tex]Q = 2(a^4+b^4)+\frac{1}{4ab}[/tex] à?
Bạn nên sử dụng chức năng gõ công thức nhé, không là mình lại giải nhầm

Đúng rồi bạn. (Mình chưa quen dùng gõ công thức, xin lỗi nhaaaaa)

 

[gggujguhu]

Q= 2(a^4+b^4) + 1/(4ab)

[tex]Q=2((a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2})+\frac{1}{4ab}=2(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}+\frac{1}{4ab}[/tex]
theo cosi ta có [tex]a^{2}b^{2}\leq (\frac{a^{2}+b^{2}}{2})^{2}\Rightarrow -4a^{2}b^{2}\geq -4.\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{4}=-(a^{2}+b^{2})^{2}[/tex]
[tex]Q\geq (a^{2}+b^{2})^{2}+\frac{1}{4ab}\geq (a^{2}+b^{2})^{2}+ \frac{1}{4.(\frac{a+b}{2})^{2}}=(a^{2}+b^{2})^{2}+\frac{1}{(a+b)^{2}}[/tex]
theo bunhia ta có [tex](a^{2}+b^{2})(1^{2}+1^{2})\geq (a+b)^{2}\Rightarrow (a^{2}+b^{2})\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
tới đó cậu tự giải đc rồi

 

[Lê.T.Hà]

[tex]Q\geq (a^2+b^2)^2+\frac{1}{a+b}\geq \frac{1}{4}(a+b)^4+\frac{1}{a+b}=\frac{5}{4}[/tex]

 

[System32]

[tex]Q=2((a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2})+\frac{1}{4ab}=2(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}+\frac{1}{4ab}[/tex]
theo cosi ta có [tex]a^{2}b^{2}\leq (\frac{a^{2}+b^{2}}{2})^{2}\Rightarrow -4a^{2}b^{2}\geq -4.\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{4}=-(a^{2}+b^{2})^{2}[/tex]
[tex]Q\geq (a^{2}+b^{2})^{2}+\frac{1}{4ab}\geq (a^{2}+b^{2})^{2}+ \frac{1}{4.(\frac{a+b}{2})^{2}}=(a^{2}+b^{2})^{2}+\frac{1}{(a+b)^{2}}[/tex]
theo bunhia ta có [tex](a^{2}+b^{2})(1^{2}+1^{2})\geq (a+b)^{2}\Rightarrow (a^{2}+b^{2})\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
tới đó cậu tự giải đc rồi

Theo mình thì dùng Buniacốpxki ngay từ đầu sẽ nhanh hơn

[tex]Q = 2(a^4+b^4)+\frac{1}{4ab} = (1^2+1^2)((a^2)^2+(b^2)^2)+\frac{1}{4ab} \geq (a^2+b^2)^2+\frac{1}{(a+b)^2} \geq \frac{(a+b)^4}{4}+\frac{1}{(a+b)^2} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}[/tex]

 

[System32]

[tex]Q\geq (a^2+b^2)^2+\frac{1}{a+b}\geq \frac{1}{4}(a+b)^4+\frac{1}{a+b}=\frac{5}{4}[/tex]

Phải là [tex]\frac{1}{(a+b)^2}[/tex] nhé (Dù đáp án vẫn đúng)